Все о сложных процентах. Формула сложных процентов для банковских вкладов
Большая часть кредитов сегодня погашается с помощью аннуитентных платежей, одинаковых ежемесячных сумм. Аналогично и на вклады осуществляется стабильное начисление процента. Одна и та же сумма каждый месяц. В банковской практике такое начисление процентов называется простым. Таким образом, в случае с кредитом ежемесячно его владелец должен будет погашать не только часть основной суммы, но и насчитанный процент за ее пользование. Такой формат партнерства является законным. Совсем другое дело, если с заемщика снимается сложный процент. Формула его расчета будет рассмотрена ниже.
Против закона, или Как банки наживаются за счет неопытных заемщиков?
Многим будет интересно узнать, но начисление сложного процента на кредит - это незаконно. Такой формат сотрудничества делает банковский продукт весьма прибыльным для финансовых институтов и полностью убыточным для клиента. Незаконный формат начисления процента осуществляется тогда, когда процентная ставка на протяжении всего срока кредитования систематически меняется. Заметить неправомерные действия банка возможно только при формировании просрочки, которой по факту быть не должно. В ходе судебных разбирательств можно доказать, что банк начислял не совсем правильный процент.
Так что же это - сложные проценты по кредиту и вкладу?
Формула сложных процентов для кредита позволит понять, что начисление осуществляется не только на основную сумму долга, но и на сумму средств, которая была образована после начисления банковского процента. Говоря проще, сложные проценты представляют собой проценты, которые начисляются сами на себя. В банковской практике их еще называют двойными процентами.
Люди часто сталкиваются с ситуациями, когда их небольшой долг превращается в кругленькую сумму средств. Суть проблемы в том, что после того как финансовый институт зафиксирует просрочку, он присоединит к сумме долга процент. Следующее начисление будет осуществлено на основную сумму долга плюс насчитанный ранее на нее процент. Долг перед банком увеличивается в геометрической прогрессии. Невыгодные сложные проценты для заемщика становятся настоящим преимуществом для вкладчиков, так как аналогично увеличению долга они обеспечивают быстрый прирост прибыли.
Сложный процент: формула для заемщиков
В финансовой практике весьма распространена схема расчета сложных процентов. Она актуальна в том случае, если процентные средства не выплачиваются каждый месяц, а прибавляются к размеру основной задолженности, которая становится новой базой для начислений банка. Если ссуда имеет продолжительность от года и более, заемщик может столкнуться со своей неплатежеспособностью.
FV = PV + % = PV + PV * % = PV * (1 + %)
Для подсчета переплаты за два периода начисления можно использовать следующую формулу:
FV = (PV + %) * (% + 1) = PV * (1 + %) * (1 + %) = PV * (1 + %) 2
FV = PV * (1 + %) N = PV * Кн, где:
- FV - наращенная сумма долга.
- PV - первичная сумма долга.
- % - ставка за период начисления.
- N - количество периодов начисления.
- Кн - коэффициент наращения сложных процентов.
Наращивание простых и сложных процентов
Формулы простых и сложных процентов позволяют определить объемы переплаты и предварительно оценить выгоды банковского продукта. При краткосрочных займах простые проценты оказываются более выгодными для банков. Однако если срок кредитования имеет среднесрочные или долгосрочные тенденции, разница может быть весьма ощутима для клиента. Отсюда выплывают следующие закономерности:
Независимо от процентной ставки при:
- 0 < N < 1 , то (1 + N * %) > (1 + %) N .
- N > 1, то (1 + N * %) < (1 + %) N .
- N = 1, то (1 + N * %) = (1 + %) N .
Как видим, финансовые институты, выдающие кредиты, получают больше выгоды от простых процентов при начислении всего дохода один раз к окончанию всего срока кредитования. Сложный процент приносит выгоды только если кредитование осуществляется не менее года. Оба типа процентов дают идентичную прибыль банку, если кредит оформлен на срок в один год, а проценты начисляются один раз по окончании партнерства.
Формула сложных процентов по вкладам
Сложные проценты используются банками не только для получения выгоды от кредитования. Формат начислений применяется и при оформлении вкладов, тем самым определяя выгоды для инвесторов. Итоговую сумму вклада можно рассчитать используя следующую формулу:
S = D * (1 + % * i / Y / 100) * N
Для расчета прибыли по вкладу эффективно использовать другие формулы:
Sp = S - D = D * (1 + % * i / Y / 100) * N - D
Sp = D * ((1 + % * i / Y / 100) * N - 1)
Для сравнения прибыльности по вкладам, которые оформлены на разный период и для каждого из которых свойственна своя ставка сложных процентов, формула будет выглядеть иначе. Она позволит определить процент, который получит инвестор после капитализации.
P1 = 100 * ((1 + % * i / Y / 100) * N - 1), где:
- D - размер первичного вклада.
- S - общая сумма вклада с начисленными процентами.
- % - процентная ставка.
- Sp - доход.
- N - количество начислений.
- i - количество дней по начислению процентов.
- Y - дни в году.
Итоговая ставка банка, рассчитанная с учетом капитализации процента, называется эффективной. Финансовые институты не учитывают день окончания партнерства, если используют сложную схему начисления прибыли.
Пример расчета сложных начислений по вкладу
Формула начисления сложных процентов помогает каждому вкладчику предварительно оценить объем своего дохода. Попробуем рассчитать общий объем вклада и отдельно полученную по нему прибыль, если размер первичной инвестиции составлял 100 000 рублей на период 90 дней со ставкой 16 %.
S = 100000 + (100000 * 16 % * 90 / 365)
Sp = 100000 * 16 % * 90 / 365
На что обращать внимание?
Для каждого формата партнерства с банком нужно использовать индивидуальный вариант расчета. В зависимости от продолжительности вклада и периодичности выплат будет формироваться итоговый сложный процент. Формула его расчета будет изменяться от случая к случаю. Чтобы не допустить ошибок и выбрать максимально выгодную программу депозитов, нужно обратиться к экспертам. Помочь в данном вопросе могут представители финансового института. Они хоть и не имеют права рекомендовать вклады, но обязаны предоставить по просьбе полную схему расчета процентов по ним.
Капитализация при инвестировании в валютные рынки
Капитализация процентов встречается не только в банке, но и на валютном рынке «Форекс». Инвесторы, отдающие свои капиталы в доверительное управление, получают возможность следить за увеличением своих депозитов в геометрической прогрессии. Специфика данного вида инвестирования в том, что при получении прибыли она не снимается сразу, а распределяется по окончании торгового периода. На протяжении торгового периода, который может составлять неделю, месяц и даже несколько месяцев, будет автоматически проводиться начисление сложных процентов в силу специфики торговли. Для точного расчета дохода не подойдет формула сложных процентов по вкладам. Причина в отсутствии стабильной ставки. Прибыль определяется качеством торговли управляющего, его стратегией и политикой мани-менеджмента, прочими параметрами торговой системы.
Инвестору на заметку
Для расчета дохода при капитализации используется не одна формула сложных процентов для кредита и депозита, а несколько. Это обусловлено разными условиями партнерства с банком. Начисление процента на процент может проводиться каждый день, что является большой редкостью, каждую неделю, каждый месяц и даже каждый год (при долгосрочных инвестициях).
Оптимальным вариантом можно считать депозит с ежемесячной капитализацией, найти его несложно, а выгоды он принесет достаточно большие. Начисление процента на процент является тем выгодней для инвестора, чем чаще осуществляется начисление. Несмотря на более низкие процентные ставки по продуктам банка с капитализацией, прибыль в конечном счете получается на порядок больше, нежели при простой схеме начисления.
Еще один интересный момент заключается в том, что чем дольше вклад будет находиться в банке, тем быстрее он будет расти. Увеличение дохода будет происходить благодаря присоединению начислений к базовому объему средств. Если в течение года преимущества капитализации будут не так ощутимы, спустя десяток лет сомнения в преимуществах этого банковского предложения отпадут. Таким образом, выбирая меньшую процентную ставку, но останавливаясь на капитализации, можно получить более высокую прибыль по вкладу.
Открывая банковский вклад нужно обращать внимание не только на размер процентной ставки, но и на вид начисления процентов. Бывает простое начисление процентов и сложное. В этой статье мы разберем разницу между видом начисления процентной ставки, а также определим в чем выгода того или иного способа начисления.
В чем разница между простыми и сложными процентами?
Обычно банки предлагают простое начисление процентов. Что это значит? Это значит, что проценты будут начислены на ваш вклад только в конце срока. Т.е. допустим вы открыли вклад под 10% годовых и вложили 10 000 рублей. Через год вам будет начислено в виде процентов 1 000 рублей. Если вы оставите вклад на второй год, то по истечении этого срока вам будет начислена еще 1 000 рублей.
За 2 года, при простом начислении процентов ваша итоговая сумма составит: 12 000 рублей.
Если бы было сложное начисление процентов, то картина немного меняется. Через 1 год, на вашем счету также было бы 11 000 рублей (10 000 — ваш вклад + 1 000 рублей в виде процентов).
Однако, эта начисленная тысяча, в конце первого периода присоединилась бы к основному телу депозиту. И все проценты уже начислялись бы на эту общую сумму. Т.е. вы на второй год получили бы 10%, только уже не с 10 000 рублей, а с 11 тысяч. В деньгах это получается — 1 100 рублей.
Итого, за 2 года при сложном начислении ваша сумма составит: 12 100 рублей
Думаю, нет смысла объяснять, что вы выберите: 12 000 или 12 100 рублей. К тому же дополнительным преимуществом сложным процентов является тот факт, что они также входят в . Т.е. если у банка отзывают лицензию, то все начисленные проценты также подлежат возврату вкладчику.
При простом начислении, деньги выплачиваются только в конце срока, т.е. по факту они не были начислены, даже если до окончания вашего вклада оставался только один день! И в данном случае вы имеете право на возврат только основного капитала.
Особенно привлекательным становится вклад с ежемесячной или ежеквартальной капитализацией процентов. Чем ниже период капитализации по вкладу, тем более высокий доход он дает. Дело тут в кумулятивном эффекте. Когда на начисленные проценты в виде прибыли также начисляется прибыль. Иногда сложные проценты называют процентами с учетом реинвестирования или капитализации . Обращайте на это внимание когда заключаете договор с банком. Если в договоре сказано, что проценты начисляются в конце срока вклада, то речь идет о простом начислении процентов.
Банки не очень часто предлагаю . Даже если проценты начисляются ежемесячно или ежеквартально, банки предпочитают не использовать полученную прибыль для начисления на них дополнительных процентов, а перечисляют на отдельный счет. Дело здесь, как было указано выше, в эффекте рефинансирования, когда эффективная процентная ставка за счет капитализации будет выше, первоначально заявленной банком.
Пример. При номинальной ставке в 9% годовых, реальная эффективная ставка с учетом реинвестирования составила бы 9,4% годовых. При 10% этот показатель вырос бы до 10,5%, а при 11% — до 11,6%.
Банки обычно указывают номинальную процентную ставку, поскольку эффективная процентная ставка при условии снятия процентов может и не случиться.
Формула расчета сложного процента по вкладам в банках
Для тех, кто хочет сам понять какую сумму он получит вложив деньги под сложный процент в банке есть специальная формула реинвестирования или капитализации вклада:
S=K * (1+r/t)™
K — это ваша первоначальная сумма, которую вы внесли в банк,
r — годовая процентная ставка, под которую вы положили в банк, например, 10% годовых — это 0,1, 12% годовых — это 0,12
t — количество выплат по процентам в год, например, если проценты начисляются ежегодно, то t=1, ежеквартально t=4, ежемесячно t=12
ТМ — количество периодов начисления процентов, т.е. если вы открыли вклад на 2 года, то при ежеквартальном начислении периодов будет 8, при ежемесячном TM будет равно 24.
S — сумма, которая окажется у вас на счету по истечении срока вклада.
Пример.
Вы открыли вклад на срок 2 года, под 12% годовых, капитализация процентов ежеквартальная. Вы внесли 10 000 рублей.
Какая сумма будет у вас в конце срока?
K=10 000
r=0,12%
t=4
TM=8
Получаем, S=10 000 * (1+0.12/4)∧8 = 12 668 рублей.
Итого за 2 года подобный вклад принесет вам 2 668 рублей или 26,68% доходности.
Если, для примера взять простое начисление процентов под те же 12% годовых на 2 года, с ежегодным начислением, но без капитализации, то в конце срока сумма будет немного меньше, а именно 2 400 рублей или 24% доходности.
Конечно, разница в 2,68% не такая уж и большая. Но все меняется если изменится сумма вклада в большую сторону или же увеличиться срок вклада. Именно на больших временных интервалах разница между простым и сложным начисление процентов наиболее заметна. На длительных интервалах времени разница в достигнутом результате может изменяться в разы. Недаром Ротшильды (богатейшее семейство планеты) называли сложные проценты « «.
На протяжении всей истории люди задумывались о своем будущем. Основное их желание защитить себя и своих родственников от финансовых неприятностей, обеспечив тем самым уверенность в завтрашнем дне. Начать постройку своего финансового фундамента можно уже теперь при помощи сравнительно незначительных банковских вложений. Лишь, таким образом, возможно, себе свободу и независимость.
Главным принципом банковских сделок является то, что финансовые ресурсы способные увеличиваться только когда все время находятся в обороте. Для уверенного ориентирования в сфере денежных услуг и правильном подборе наиболее выгодных условий важно знать некоторые простые принципы. Например, правила работы долгосрочных процентов, позволяющие за некоторое количество лет из сравнительно небольшой суммы стартового капитала получать серьезную прибыль.
Но для этого необходимо знать, каким образом работает сложный процент и формулы расчета сложного процента .
Проводить все расчеты следует на основе нижеописанных формул.
Что такое сложный процент по вкладам ? Сложный процент – это распространенный в экономической и финансовой отрасли эффект, когда процентная ставка по прибыли прибавляется к базовому вкладу, а полученный результат в будущем превращается в основу для начисления новых процентов.
Проценты по вложенным средствам могут прибавляться каждый день, 30 дней, квартал или год. Они могут выплачиваться в виде прибыли по окончанию периода, а могут начисляться к основному вкладу. Это значит, что в следующий раз ставка будет высчитываться на большую сумму.
Яркой иллюстрацией использования капитализации процентов является притча из Евангелия об одной бедной женщине, которая лишилась своего мужа. Во времена, когда жил Иисус Христос она принесла в его святилище свои деньги и отдала их в качестве жертвы. У нее было всего две небольшие монетки. Можно представить ситуацию, что в то время уже образовались банковские учреждения, она бы внесла 1 из своих монет в банк. Интересно, какая бы конечная сумма получилась у нее на счету сегодня, если учесть тот факт, что учреждение производит капитализацию процентов от средства, например 5% в год?
Расчеты, которые будут произведены, показывают на примере вариант применения сложного процента. Возьмем для примера ставку в 5% в год, уже после первого года хранения средств в банке вклад женщины вырастет в (1 + 0.05) раз. В последующий год расчет будет вестись уже не от копейки, а от конечной величины. Этот результат должен увеличиться еще в (1+0.05) раз. Получается, что вклад по сравнению с первоначальной суммой должен вырасти в (1+0.05)*2 раз. На третий год (1+0.05)*3.
К 2017 году изначальные средства должны увеличить в (1+0.05)*2016 раз. При стартовом капитале всего в 1 копейку уже к 2014 году результат будет больше 52 додециллионов рублей.
Например, человек решил положить средства в банк (200 000 рублей) под ежегодный процент в 10%. Для того, чтобы через 10 лет он смог воспользоваться деньгами, размер которых увеличился благодаря капитализации, нужно вычислить итоговую сумму, используя формулы расчета сложного процента.
Важно! Формула сложного процента подразумевает, что при вычислении, в конце каждого временного отрезка (месяц, год и др.) к вкладу нужно прибавлять полученную от денег прибыль. Конечное число является основой для последующих операций с увеличением средств.
Для осуществления расчетных действий можно использовать формулу:
Пояснение:
S – полная объем (сам вклад и проценты) средств, которые должны быть возвращены вкладчику по окончанию срока действия договора;
P – изначальный размер вклада;
N – сумарное количество действий по капитализации ставки за весь период использования (в этом случае оно ровно числу лет);
I – объем годовой ставки.
Если подставить выбранные значения в указанную формулу, то получается следующий пример:
Уже спустя пять лет сумма будет равна 200 000*(1+10/100)5 = 322102 рублей
Через десятилетний отрезок объем средств будет равен 200 000*(1+10/100)10 = 518748,492 рублей.
Если используется формула сложного процента с капитализацией за маленький отрезок времени, то нужные значения удобней рассчитывать по примеру:
Пояснения:
K – число дней в выбранном году;
J – число дней в отрезке, по результатам которого банковское учреждение будет проводить капитализацию начисленных процентов;
Другие переменные не изменились.
Помесячное начисление и увеличениепроцентов наиболее выгодно для клиентов. И именно этот метод многие рассматривают всерьез. Для того чтобы правильно рассчитать разработана такая формула сложных процентов .
Указаннаяn и в этом случае означает количество всех операций. Но теперь она выражается в месяцах. Показатель процентов следует разделить на 12, потому как в одном году 12 месяцев. Благодаря этому можно легко высчитать ежемесячную процентную ставку.
Эту же формулу, но с некоторыми изменениями можно отнести и к начислениям вкладов в поквартальный период. Изменения состоят в том, что процент, высчитываемый за год нужно делить не на 12, а на 4. А вышеупомянутый показатель nравняется не количествувсех операций, а совокупностикварталов. С такой же логикой можно отнестись и к начислениям процента по полугодиям. Общая формула сложных процентов по вкладам будет та же, но процентная ставка должна делиться на 2. А на количество полугодий указывает показатель n.
Например, клиент сделал вклад на сумму 100000,00 рублей. Капитализация процентов в этом случае выбрана ежемесячная. Учитывая это, по прошествии пяти лет сумма вклада вырастет до цифры в 172891,57 рублей. Если бы при первоначальном вкладе клиент выбрал ежегодную капитализацию процентов, то итоговая сумма через пять лет была бы на 10000 рублей меньше. Формула сложных процентов с капитализацией ежемесячно следующая.
Через десять лет вложенная клиентом сумма достигнет 298914,96 рублей. Если бы капитализация процентов была годовой, то указанная итоговая сумма за десять лет была бы уже на 15000 рублей меньше. Вот как рассчитывается итоговая сумма начисления ежемесячных процентов за десять лет.
Доходы во время начисления ежемесячных процентов намного превышают годовой доход. Если прибыль оставить на счету, то она и дальше будет работать на вкладчика. Вот на наглядном примере можно увидеть график, на котором указан расчет процентов в годах и в месяцах.
Именно поэтому многие граждане отдают предпочтение процентной капитализации, которая высчитывается один раз в месяц.
Вышеперечисленные формулы того как производится расчет сложных процентов по вкладу это скорей наглядный пример доступный для пониманий клиентов. Так они легко смогут осознать весь принцип начисления. В действительности формула сложного процента для банковских вкладов немного труднее.
В данном случае применяется такая мера как коэффициент процентов по вкладам (р). Он высчитывается следующим образом:
Используя сложные проценты формулу, можно высчитать проценты для различных временных периодов.
Сам процент для различного типа вкладов в банк следует рассчитывать по данной формуле:
На базе данной формулы можно на конкретном примере высчитать сложный процент, формула которого представлена выше.
руб. – это полноценная сумма имеющегося вклада, возросшая в течение пяти лет;
Руб. – этот же показатель, но уже в течение десяти лет.
Однако следует понимать, что это лишь примерные расчеты. Для вычисления важно учитывать различное количество дней в месяцах и то, что некоторые года могут быть високосными.
При сравнении показателей из двух вышеописанных примеров сим предшествующими можно будет обнаружить, что они немного меньше. Однако этого будет достаточно, чтобы оценить всю выгоду от процентов. Именно поэтому если есть твердое решение на длительное время положить деньги в банк,то предварительные расчеты лучше делать при использовании банковской формулы. Так можно будет избежать всех неточностей.
В условиях рыночной экономики любое взаимодействие лиц, фирм и предприятий с целью получения прибыли называется сделкой. При кредитных сделках прибыль представляет собой величину дохода от предоставления денежных средств в долг, что на практике реализуется за счет начисления процентов (процентной ставки – i). Проценты зависят от величины предоставляемой суммы, срока ссуды, условий начисления и т. д.
Важнейшее место в финансовых сделках занимает фактор времени (t). С временным фактором связан принцип неравноценности и неэквивалентности вложений. Для того чтобы определить изменения, происходящие с исходной суммой денежных средств (P), необходимо рассчитать величину дохода от предоставления денег в ссуду, вложения их в виде вклада (депозита), инвестированием их в ценные бумаги и т. д.
Процесс увеличения суммы денег в связи с начислением процентов (i) называют наращением, или ростом первоначальной суммы (P). Таким образом, изменение первоначальной стоимости под влиянием двух факторов: процентной ставки и времени называется наращенной стоимостью (S).
Наращенная стоимость может определяться по схеме простых и сложных процентов. Простые проценты используются в случае, когда наращенная сумма определяется по отношению к неизменной базе, то есть начисленные проценты погашаются (выплачиваются) сразу после начисления (таким образом, первоначальная сумма не меняется); в случае, когда исходная сумма (первоначальная) меняется во временном интервале, имеют дело со сложными процентами.
При начислении простых процентов наращенная сумма определяется по формуле
S = P (1 + i t), (1)
где S – наращенная сумма (стоимость), руб.; P – первоначальная сумма (стоимость), руб.; i – процентная ставка, выраженная в коэффициенте; t – период начисления процентов.
S = 10 000 (1+ 0,13 · 1) = 11 300, руб. (сумма погашения кредита);
ΔР = 11 300 – 10 000 = 1 300, руб. (сумма начисленных процентов).
Определить сумму погашения долга при условии ежегодной выплаты процентов, если банком выдана ссуда в сумме 50 000 руб. на 2 года, при ставке – 16 % годовых.
S = 50 000 (1+ 0,16 · 2) = 66 000, руб.
Таким образом, начисление простых процентов осуществляется в случае, когда начисленные проценты не накапливаются на сумму основного долга, а периодически выплачиваются, например, раз в год, полугодие, в квартал, в месяц и т. д., что определяется условиями кредитного договора. Также на практике встречаются случаи, когда расчеты производятся за более короткие периоды, в частности на однодневной основе.
В случае, когда срок ссуды (вклада и т. д.) менее одного года, в расчетах необходимо скорректировать заданную процентную ставку в зависимости от временного интервала. Например, можно представить период начисления процентов (t) в виде отношения , где q – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) ссуды; k – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) в году.
Таким образом, формула (1) изменяется и имеет следующий вид:
S = P (1 + i ). (2)
Банк принимает вклады на срочный депозит на срок 3 месяца под 11 % годовых. Рассчитать доход клиента при вложении 100 000 руб. на указанный срок.
S = 100 000 (1+ 0,11 · ) = 102 749,9, руб.;
ΔР = 102 749,9 – 100 000 = 2 749,9, руб.
В зависимости от количества дней в году возможны различные варианты расчетов. В случае, когда за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней), исчисляют обыкновенные, или коммерческие проценты. Когда за базу берут действительное число дней в году (365 или 366 – в високосном году), говорят о точных процентах.
При определении числа дней пользования ссудой также применяется два подхода: точный и обыкновенный. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором – месяц принимается равным 30 дням. Как в первом, так и во втором случае, день выдачи и день погашения считаются за один день. Также существуют случаи, когда в исчислении применяется количество расчетных или рабочих банковских дней, число которых в месяц составляет 24 дня.
Таким образом, выделяют четыре варианта расчета:
1) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
2) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды;
3) точные проценты с приближенным числом дней ссуды;
4) точные проценты с банковским числом рабочих дней.
При этом необходимо учесть, что на практике день выдачи и день погашения ссуды (депозита) принимают за один день.
Ссуда выдана в размере 20 000 руб. на срок с 10.01.06 до 15.06.06 под 14 % годовых. Определить сумму погашения ссуды.
1. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
156=21+28+31+30+31+15;
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 213,3, руб.
2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 205,6, руб.
3. Точные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 189,0, руб.
4. Точные проценты с банковским числом рабочих дней:
S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 516,7, руб.
Данные для расчета количества дней в периоде представлены в прил. 1, 2.
Как сказано выше, кроме начисления простых процентов применяется сложное начисление, при котором проценты начисляются несколько раз за период и не выплачиваются, а накапливаются на сумму основного долга. Этот механизм особенно эффективен при среднесрочных и долгосрочных кредитах.
После первого года (периода) наращенная сумма определяется по формуле (1), где i будет являться годовой ставкой сложных процентов. После двух лет (периодов) наращенная сумма S 2 составит:
S 2 = S 1 (1 + it) = P (1 + it) · (1 + it) = P (1 + it) 2 .
Таким образом, при начислении сложных процентов (после n лет (периодов) наращения) наращенная сумма определяется по формуле
S = P (1 + i t) n , (3)
где i – ставка сложных процентов, выраженная в коэффициенте; n – число начислений сложных процентов за весь период.
Коэффициент наращения в данном случае рассчитывается по формуле
Кн = (1 + i t) n , (4)
где Кн – коэффициент наращения первоначальной стоимости, ед.
Вкладчик имеет возможность поместить денежные средства в размере 75 000 руб. на депозит в коммерческий банк на 3 года под 10 % годовых.
Определить сумму начисленных процентов к концу срока вклада, при начислении сложных процентов.
S = 75 000 (1+ 0,1 · 1) 3 = 99 825, руб.
ΔР = 24 825, руб.
Таким образом, коэффициент наращения составит:
Кн = (1+ 0,1 · 1) 3 = 1,331
Следовательно, коэффициент наращения показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма при заданных условиях.
Доля расчетов с использованием сложных процентов в финансовой практике достаточно велика. Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – их реинвестированием или капитализацией.
Рис. 1. Динамика увеличения денежных средств при начислении простых и сложных процентов
Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением, что наглядно представлено на рис. 1.
В финансовой практике обычно проценты начисляются несколько раз в году. Если проценты начисляются и присоединяются чаще (m раз в год), то имеет место m-кратное начисление процентов. В такой ситуации в условиях финансовой сделки не оговаривают ставку за период, поэтому в финансовых договорах фиксируется годовая ставка процентов i, на основе которой исчисляют процентную ставку за период (). При этом годовую ставку называют номинальной, она служит основой для определения той ставки, по которой начисляются проценты в каждом периоде, а фактически применяемую в этом случае ставку (() mn) – эффективной, которая характеризует полный эффект (доход) операции с учетом внутригодовой капитализации.
Наращенная сумма по схеме эффективных сложных процентов определяется по формуле
S = P (1+ ) mn , (5)
где i – годовая номинальная ставка, %; (1+ ) mn – коэффициент наращения эффективной ставки; m – число случаев начисления процентов за год; mn – число случаев начисления процентов за период.
S = 20 000 (1+ ) 4·1 = 22 950, руб.
Следует отметить, что при периоде, равным 1 году, число случаев начисления процентов за год будет соответствовать числу случаев начисления процентов за весь период. Если, период составляет более 1 года, тогда n (см. формулу (3)) – будет соответствовать этому значению.
S = 20 000 (1+ ) 4·3 = 31 279, 1 , руб.
Начисление сложных процентов также применяется не только в случаях исчисления возросшей на проценты суммы задолженности, но и при неоднократном учете ценных бумаг, определении арендной платы при лизинговом обслуживании, определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции и т. д.
Как говорилось выше, ставку, которая измеряет относительный доход, полученный в целом за период, называют эффективной. Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовых операций. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой.
I эф = (1+ ) mn – 1 . (6)
Кредитная организация начисляет проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 10 % годовых. Определить эффективную ставку при ежедневном начислении сложных процентов.
i = (1+ ) 365 – 1 = 0,115156, т. е. 11 %.
Реальный доход вкладчика на 1 руб. вложенных средств составит не 10 коп. (из условия), а 11 коп. Таким образом, эффективная процентная ставка по депозиту выше номинальной.
Банк в конце года выплачивает по вкладам 10% годовых. Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов: а) ежеквартально; б) по полугодиям.
а) i = (1+ ) 4 – 1 = 0,1038, т. е. 10,38 %;
б) i = (1+ ) 2 – 1 = 0,1025, т. е. 10,25 %.
Расчет показывает, что разница между ставками незначительна, однако начисление 10 % годовых ежеквартально выгодней для вкладчика.
Расчет эффективной процентной ставки в финансовой практике позволяет субъектам финансовых отношений ориентироваться в предложениях различных банков и выбрать наиболее приемлемый вариант вложения средств.
В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение во времени процентной ставки. Это вызвано изменением контрактных условий, предоставлением льгот, предъявлением штрафных санкций, а также изменением общих условий совершаемых сделок, в частности, изменение процентной ставки во времени (как правило, в сторону увеличения) связано с предотвращением банковских рисков, возможных в результате изменения экономической ситуации в стране, роста цен, обесценения национальной валюты и т. д.
Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки во времени может осуществляться как начислением простых процентов, так и сложных. Схема начисления процентов указывается в финансовом соглашении и зависит от срока, суммы и условий операции.
Пусть процентная ставка меняется по годам. Первые n 1 лет она будет равна i 1 , n 2 – i 2 и т. д. При начислении на первоначальную сумму простых процентов необходимо сложить процентные ставки i 1 , i 2 , i n , а при сложных – найти их произведение.
При начислении простых процентов применяется формула
S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n) , (7)
где i n – ставка простых процентов; t n – продолжительность периода начисления.
В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты выплачиваются ежегодно.
S = 10 000 (1+0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1)=13 150, руб.;
ΔР = 3 150, руб.
При начислении сложных процентов применяется формула
S = P(1+i 1 t 1)·(1+ i 2 t 2)·(1+ i 3 t 3)·(1+ i n t n) (8)
где i n – ставка сложных процентов; t n – продолжительность периода ее начисления.
В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты капитализируются.
S = 10 000 (1+0,10 · 1)·(1 +0,105 · 1)·(1 + 0,11 · 1)= 13 492, 05, руб.
Приведенные примеры подтверждают тот факт, что начисление простых процентов связано с определением наращенной суммы по отношению к неизменной базе, т. е. каждый год (период) проценты начисляются на одну и ту же первоначальную стоимость. Если рассмотреть пример 10, то в этом случае наращенная стоимость составит:
– за первый год: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;
ΔР 1 = 1 000, руб.;
– за второй год: S 2 = 10 000 (1+0,105 · 1) = 11 050, руб.;
ΔР 2 = 1 050, руб.;
– за третий год: S 3 = 10 000 (1+0,11 · 1) = 11 100, руб.;
ΔР 3 = 1 100, руб.
Таким образом, сумма процентов за 3 года составит:
ΔР = 1 000+1 050+1 100 = 3 150, руб. (см. пример 10).
В случае начисления сложных процентов, исходная сумма меняется после каждого начисления, так как проценты не выплачиваются, а накапливаются на основную сумму, т. е. происходит начисление процентов на проценты. Рассмотрим пример 11:
– в первом году: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;
– во втором году: S 2 = 11000 (1+0,105 · 1) = 12 100, руб.;
– в третьем году: S 3 = 12100 (1+0,11 · 1) = 13 431, руб.
Таким образом, сумма процентов за 3 года составит: i 3 = 3 431, руб. (см. пример 10).
При разработке условий контрактов или их анализе иногда возникает необходимость в решении обратных задач – определение срока операции или уровня процентной ставки.
Формулы для расчета продолжительности ссуды в годах, днях и т. д. можно рассчитать, преобразуя формулы (1) и (5).
Срок ссуды (вклада):
t = · 365 . (9)
Определить на какой срок вкладчику поместить 10 000 руб. на депозит при начислении простых процентов по ставке 10 % годовых, чтобы получить 12 000 руб.
t = (
) · 365 = 730 дней (2 года).
Клиент имеет возможность вложить в банк 50 000 руб. на полгода. Определить процентную ставку, обеспечивающую доход клиента в сумме 2 000 руб.
t = (
) = 0,08 = 8 % годовых
Аналогично определяется необходимый срок окончания финансовой операции и ее протяженность, либо размер требуемой процентной ставки при начислении сложных процентов.
Для упрощения расчетов значения коэффициента (множитель) наращения представлены в прил. 3.
Онлайн калькулятор вкладов поможет вам быстро рассчитать проценты по любому вкладу, в том числе с капитализацией, с пополнениями и с учетом налогов, а также покажет график начисления процентов. Если вы планируете открыть вклад, то калькулятор поможет вам заранее рассчитать потенциальную доходность.
Капитализация процентов
При обычном вкладе начисленные проценты банк выплачивает вкладчику ежемесячно (либо с другой периодичностью, оговоренной условиями договора). Это называется «простые проценты». Вклад с капитализацией (или «сложные проценты») - это условие, при котором начисленные проценты не выплачиваются, а прибавляются к сумме вклада, таким образом увеличивая её. Общий доход от вклада в этом случае будет выше.
С помощью депозитного калькулятора вы можете сравнить результаты расчёта двух одинаковых вкладов (с капитализацией и без) и увидеть разницу.
Эффективная процентная ставка по вкладу
Эта характеристика актуальна только для вкладов с капитализацией процентов. В связи с тем, что проценты не выплачиваются а идут на увеличение суммы вклада, очевидно, что если ежемесячно возрастает сумма вклада, то и вновь начисленные на эту сумму проценты также будут выше, как и конечный доход.
Формула расчета эффективной ставки:
где
N - количество выплат процентов в течение срока вклада,
T - срок размещения вклада в месяцах.
Эта формула не универсальна. Она подходит только для вкладов с капитализацией 1 раз в месяц, период которых содержит целое количество месяцев. Для других вкладов (например вклад на 100 дней) эта формула работать не будет.
Однако есть и универсальная формула для рассчета эффективной ставки. Минус этой формулы в том, что получить результат можно только после рассчета процентов по вкладу.
Эффективная ставка = (P / S) * (365 / d) * 100
где
P - проценты, начисленные за весь период вклада,
S - сумма вклада,
d - срок вклада в днях.
Эта формула подходит для всех вкладов, с любыми сроками и любой периодичностью капитализации. Она просто считает отношение полученного дохода к начальной сумме вклада, приводя эту величину к годовым процентам. Лишь небольшая погрешность может присутствовать здесь, если период вклада или его часть выпала на високосный год.
Именно этот метод используется для рассчета эффективной ставки в представленном здесь депозитном калькуляторе.
Налог на доход по вкладам
Налоговый кодекс Российской Федерации предусматривает налогооблажение вкладов в следующих случаях:
- Если процентная ставка по рублевому вкладу превышает значение ключевой ставки ЦБ РФ на момент заключения или пролонгации договора, увеличенной на 5 процентных пунктов.
- Если процентная ставка по валютному вкладу превышает 9% .
Ставка налога составляет 35% для резидентов РФ и 30% для нерезидентов.
При этом налогом облагается не весь доход, полученный от вклада, а только часть, полученная в результате превышения процентной ставки по вкладу пороговой ставки. Для того, чтобы рассчитать налоговую базу (сумму, облагаемую налогом), нужно сначала рассчитать проценты налисленные по номинальной ставке вклада, а затем сделать аналогичный расчет по пороговой ставке. Разница этих сумм и будет являться налоговой базой. Для получения величины налога остается умножить эту сумму на ставку налога.
Наш депозитный калькулятор рассчитает ваш вклад с учетом налогов.