Сложные процентные ставки. Что такое сложный процент и в чем его преимущество

Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.

Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. В данной статье речь пойдет о долгосрочных вложениях, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.

Для правильного расчета прибыли необходимо выполнить несложные арифметические действия на основе нижеизложенных формул.

Формула сложного процента (расчет в годах)

Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента.

Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.

Для расчета сложного процента применяем простую формулу:

• S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;
• Р – первоначальная величина вклада;
• n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);
• I – годовая процентная ставка.

Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:

через 5 лет сумма будет равняться руб.,

а через 10 лет она составит руб.

Если бы мы рассчитывали за короткий период, то сложный процент было бы удобнее рассчитывать по формуле

• К – количество дней в текущем году,
• J – количество дней в периоде, по итогам которого банком производится капитализация начисленных процентов (остальные обозначения – как и в предыдущей формуле).

Но тем, кому удобнее ежемесячно снимать проценты по вкладу, лучше ознакомиться с понятием «капитализация вклада», подразумевающим начисление простых процентов.

На графике показано как вырастет капитал при капитализации процентов по вкладу, если вложить 100000,00 руб. на 10 лет под 10%, 15% и 20%

Формула сложного процента (расчет в месяцах)

Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки – ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:

где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.

Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.

Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:

через 5 лет (60 месяцев) сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; руб.

а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.

руб.

Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.

Формула сложного процента для банковских вкладов

Вышеописанные формулы сложного процента – это, скорее всего, наглядные примеры для клиентов, чтобы они могли понять порядок начисления сложных процентов. Эти расчеты несколько проще, чем формула, применяемая банками к реальным банковским вкладам.

Здесь используется такая единица, как коэффициент процентной ставки для вклада (p). Его рассчитывают так:

Сложный процент («наращенная» сумма) для банковских вкладов рассчитывается по следующей формуле:

На ее основе и взяв в качестве примера те же данные, мы рассчитаем сложный процент по банковскому методу.

Для начала определяем коэффициент процентной ставки для вклада:

Теперь подставляем данные в основную формулу:

руб. – это сумма вклада, «выросшая» за 5 лет*;

руб. – за 10 лет*.

*Приведенные в примерах расчеты являются приблизительными, поскольку в них не учтены високосные года и разное количество дней в месяце.

Если сравнивать суммы из этих двух примеров с предыдущими, то они несколько меньше, но все же выгода от капитализации процентов очевидна. Поэтому, если вы твердо решили положить деньги в банк на длительный срок, то предварительный подсчет прибыли лучше делать с помощью «банковской» формулы – это поможет вам избежать разочарований.

Дарья Никитина

Время на чтение: 9 минут

А А

Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.
Формула сложного процента — это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).

В этой статье:

Простой расчет сложных процентов

Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 процентов годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль — 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб на второй год в банке под те же 10 процентов.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Этот эффект и получил название сложный процент.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Формула сложного процента:

SUM = X * (1 + %) n

где
SUM — конечная сумма;
X — начальная сумма;
% — процентная ставка, процентов годовых /100;
n — количество периодов, лет (месяцев, кварталов).

Расчет сложных процентов: Пример 1.
Вы положили 50 000 руб в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:

SUM = 50000 * (1 + 10/100) 5 = 80 525, 5 руб.

Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться например ежеквартально, либо ежемесячно.

Расчет сложных процентов: Пример 2.
Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.

SUM = 10000 * (1+10/100/12) 12 = 11047,13 руб.

Прибыль составила:

ПРИБЫЛЬ = 11047,13 — 10000 = 1047,13 руб

Доходность составила (в процентах годовых):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.

Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.

Формула сложного процента для банковских вкладов

На самом деле формула сложного процента применительно к банковским вкладам несколько сложнее, чем описана выше. Процентная ставка для вклада (%) рассчитывается так:

% = p * d / y

где
p — процентная ставка (процентов годовых / 100) по вкладу,
например, если ставка 10,5%, то p = 10,5 / 100 = 0,105 ;
d — период (количество дней), по итогам которого происходит капитализация (начисляются проценты),
например, если капитализация ежемесячная, то d = 30 дней
если капитализация раз в 3 месяца, то d = 90 дней;
y — количество дней в календарном году (365 или 366).

То есть можно рассчитывать процентную ставку для различных периодов вклада.

Формула сложного процента для банковских вкладов выглядит так:

SUM = X * (1 + p*d/y) n

При расчете сложных процентов нужно принимать во внимание тот факт, что со временем наращивание денег превращается в лавину. В этом привлекательность сложных процентов. Представьте себе маленький снежный комок размером с кулак, который начал катиться со снежной горы. Пока комок катится, снег налипает на него со всех сторон и к подножию прилетит огромный снежный камень. Также и со сложным процентом. Поначалу прибавка, создаваемая сложным процентом, почти незаметна. Но через какое-то время она показывает себя во всей красе. Наглядно это можно увидеть на примере ниже.

Калькулятор сложных процентов для вклада

Начальный депозит

Количество периодов

Доходность за 1 период

Довложения каждый период

Расчет сложных процентов: Пример 3.
Рассмотрим 2 варианта:
1. Простой процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.
2. Сложный процент. Вы инвестировали 50 000 руб на 15 лет под 20%. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.

Начальная сумма: 50 000 рублей
Процентная ставка: 20% годовых
	Простой процент	Сложный процент
	Сумма	Прибыль за год	Сумма	Прибыль за год
Через 1 год	60 000р.	10 000р.	60 000р.	10 000р.
Через 2 года	70 000р.	10 000р.	72 000р.	12 000р.
Через 3 года	80 000р.	10 000р.	86 400р.	14 400р.
Через 4 года	90 000р.	10 000р.	103 680р.	17 280р.
Через 5 лет	100 000р.	10 000р.	124 416р.	20 736р.
Через 6 лет	110 000р.	10 000р.	149 299р.	24 883р.
Через 7 лет	120 000р.	10 000р.	179 159р.	29 860р.
Через 8 лет	130 000р.	10 000р.	214 991р.	35 832р.
Через 9 лет	140 000р.	10 000р.	257 989р.	42 998р.
Через 10 лет	150 000р.	10 000р.	309 587р.	51 598р.
Через 11 лет	160 000р.	10 000р.	371 504р.	61 917р.
Через 12 лет	170 000р.	10 000р.	445 805р.	74 301р.
Через 13 лет	180 000р.	10 000р.	534 966р.	89 161р.
Через 14 лет	190 000р.	10 000р.	641 959р.	106 993р.
Через 15 лет	200 000р.	10 000р.	770 351р.	128 392р.
Суммарная прибыль:	150 000р.		720 351р.

Сложная процентная ставка

Формулы наращения

Сложная процентная ставка наращения – это процентная ставка, при которой база начисления, в отличие от простых процентов, является п е р е м е н н о й, т.е. проценты начисляются на проценты.

Также заранее оговаривается некоторый единичный промежуток начисления процентов (год, месяц, квартал и т.д.) и ставка процента i (илиi % = 100i ). Пусть начальная сумма долга равнаP . Тогда через единичный промежуток сумма долга составитS 1 =P (1+i ), как и в случае простых процентов. Однако к концу 2-го единичного промежутка сумма долга составитS 2 =S 1 (1+i ) =P (1+i )2 (в отличие от формулыS 2 =P (1+2i ) для простых процентов. К концу 3-го периода получаемS 3 =S 2 (1+i ) =P (1+i )3 . И т.д. К концу n -го единичного промежутка получаем

S n =P (1+i )n .

Итак, через n промежутков начальная суммаP увеличится в (1+i )n раз. Множитель (1+i )n называетсямножителем наращения . Отметим, что наращение по сложным процентам представляет рост начальной суммы по закону геометрической прогрессии, первый член которой равенP , а знаменатель 1+i .

Задача 1 . Исходная сумма вкладаP = 40 000 р. Процентная ставкаi %=10% годовых. Определить наращѐнную по сложным процентам за 3 года, а затем сравнить ее с суммой наращения по схеме простых процентов.

Решение . Применяя формулу (1) имеем

S 3,слож =P (1+i )3 = 40 000 (1+0.1)3 = 53 240 р.

Вычислим наращѐнную сумму по схеме простых процентов:

S 3,пр =P (1+3i ) = 40 000 (1+0.3) = 52 000 р. < 53 240 р.

Итак, в рассматриваемом случае использование сложных процентов приводит к большей наращѐнной сумме, что выгоднее вкладчику по сравнению с наращением по схеме простых процентов.

Формула наращения сложных процентов (1), выведенная для целых

положительных n , применима и для нецелыхt					0: S t	P (1+i )t .
Задача 2 . Какой величиныS 4.6	достигнет долг, равный 8 000 р., через 4.6 года
при росте по сложной ставке процента i =20% годовых.
Решение . По условию задачиP = 8 000 р. Тогда
S 4.6 =P (1+i )t = 8 000(1+0.2)4.6
Итак, через 4.6 года долг достигнет значения 18 506 р. 48 коп.
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула
наращѐнной суммы принимает вид
S = P (1	i )n 1 (1			) n2	...(1			) nm .

Здесь P – начальная сумма,n k – продолжительность k -го периода начисления процентов иi k – ставка простых процентов в периоде с номеромk .

Задача 3 . В договоре об обслуживании банковского вклада в течение 4-х лет зафиксирована переменная ставка сложных процентов следующим образом. В 1-й год – 6% годовых, во 2-й и 3-й год ставка одна и та же – 5% годовых, в 4-й год

– 8%. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение . ПустьP – некоторая начальная сумма. По условию задачи

i 1 = 0.06,i 2 =i 3 = 0.05,i 4 = 0.08.

Обозначим i 23 = 0.05. Имеем в соответствии с формулой (2):

S = P (1 i 1 ) 1 (1 i 23 ) 2 (1 i 4 ) 1 =P (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08).

В результате вычислений получаем значение множителя наращения:

S /P = (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08) = 1.262142.

Сравнение силы роста простых и сложных процентов

При одной и той же ставке процента i наращение сложных процентов:

идет быстрее, чем простых процентов, если длина периода наращения больше единичного периода;

идет медленнее, чем простых процентов, если длина периода наращения меньше единичного периода.

Ранее было отмечено, что наращение для единичного периода одинаково, независимо от того, используется схема простых процентов или сложных.

Обоснуем сказанное. В самом деле при i > 0:

если t >1, то (1+i )t > 1+it ; если 0

Для доказательства этого факта рассмотрим функции f (t ) = (1+i )t иg (t ) = 1+it . Очевидно,f (0) =g (0),f (1) =g (1) и обе функции возрастают приt 0 не только по их содержательному смыслу, но и формально ввиду положительности их производныхf (t ) = (1+i )t ln (1+i ) иg (t ) =i . В то же время производная второго порядкаf (t ) = (1+i )t ln 2 (1+i ) положительна приt 0, что означает выпуклость вниз функцииf (t ) приt 0 (т.е. ускоренный рост). При этом функцияg (t ) растет линейно

(g (t ) = 0).

На графике изображены функции f (t ) = (1+i )t иg (t ) = 1+it в зависимости отt :

Пример . Пусть суммаP =800 наращивается по ставке i=8% простых и сложных процентов. Тогда наращѐнные суммы таковы

Для оценки своих перспектив кредитору и должнику зачастую важно знать, через сколько времени сумма ссуды возрастает в N раз при данной процентной ставкеi . Для этого приравняем множитель наращения величинеN , в результате чего получим:

a) для простых процентов 1 + ni =N , откудаn = (N –1) / i .

b) для сложных процентов (1 + i )n =N , откудаn = lnN / ln(1 +i ).

Решение . По условию задачиi =0.04,N =2. Имеем

a) для простых процентов n = (N –1) / i = 1 /i , откудаn = 1/0.04 = 25 лет

b) для сложных процентов n = lnN / ln(1 +i ), откудаn = ln 2/ln(1.04) 17.67 лет. Расчет по схеме сложных процентов быстрее удваивает долг.

Некоторые способы начисления процентов при дробном числе лет

В практике финансовых учреждений при дробном числе лет t проценты начисляются по-разному. Рассмотрим три основных способа начисления.

1. По формуле сложных процентов: S = P (1+i )t .

2. На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые: S = P (1+i )n (1+bi ), гдеt=n+b ,n – целое число лет,b – дробная часть года.

3. В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезок времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

S = P(1+ i) n .

Задача 5 . Размер ссуды, представленной на 27 месяцев, равен 100 000 р. Годовая процентная ставка равна 20%. Вычислить наращѐнную сумму указанными тремя способами.

Решение . По условию задачи срок ссуды составляет 2.25 года. Имеем следующие расчеты.

По 1-му способу:S I = 100 000(1+0.2)2 . 2 5 150 715 р. 46 коп. По 2-му способу:S II = 100 000(1+0.2)2 (1+0.25 0.2) = 151 200 р. По 3-му способу:S III = 100 000(1+0.2)2 = 144 000 р.

Формулы дисконтирования в случае сложных процентов

Задача 6 . Выписать таблицу для дисконтного множителя (1+i )– n при сроке ссуды 5, 10 и 20 лет; сложная ставка наращения составляет 10% и 20%.

Решение . Результаты расчетов по формуле (3) приведены в таблице

Если осуществляется дисконтирование по схеме банковского (коммерческого) учета, то изначально оговаривается учетная ставка d , 0d <1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен

P = S(1– d) n .

Задача 7 . Вексель на сумму 20 000 р., срок платежа по которому наступает через 1.5 года, учтен по сложной процентной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, а также соответствующий дисконт.

Решение . Здесь по условию задачиS =20 000,n =1.5,d =0.18. Тогда по формуле (4) получаем следующие результаты расчетов:

сумма, получаемая владельцем P = 20 000(1 – 0.18)1.5 14850 р. 83 коп.,

дисконт D = S – P 20 000 – 14850.83 = 5149 р. 17 коп.

Несомненно, выгодность банковского вклада, в первую очередь, определяет процентная ставка. Ведь именно на нее ориентируется каждый потенциальный клиент. Но, на самом деле, вкладчику нужно, в частности, обратить внимание не на годовую процентную ставку, а на метод начисления прибыли. Ведь в финансовой системе банка существуют два понятия: простой и сложный процент. А для каждого вкладчика нужно точно знать, что такое простые и сложные проценты понятие и формулы, чтобы определить, какой вклад будет наиболее выгодный для него.

Что такое простой процент

В первую очередь, простой процент – это начисление вознаграждения за размещение вклада на банковском счете за весь период хранения средств. Если говорить простыми словами, то простой процент начисляется лишь по окончании срока действия депозитного договора, он определяется в годовой процентной ставке. Причем, если договор автоматически продлевается на следующий срок, то вознаграждение за предыдущий период не причисляется к телу депозита.

Чтобы максимально точно понять, что такое простая система начисления прибыли рассмотрим пример. Вы разместили в банке 50000 рублей под 7% годовых на один год. По окончании срока действия договора ваша прибыль составит 50000×0,07=3500 рублей. При автоматической пролонгации договора на следующий срок ваша прибыль составит снова 3500 рублей. То есть спустя 2 года вы сможете в банке получить 50000+3500+3500=57000 рублей.

Важно! Формула расчета простых процентов выглядит следующим образом: K=D×p. Где K – сумма прибыли, D – тело депозита, p – годовая процентная ставка (в формуле нужно указывать не годовую ставку, а ставку, деленную на 100).

Если вы размещаете средства на срок меньше чем на один год, то соответственно процентная ставка годовая делится на 12 и умножается на количество месяцев, в течение которых средства были на банковском счете. Например, если срок депозита 3 месяца, а процентная ставка 10% в год, то общая прибыль рассчитывается следующим образом.0,1/12×3=0,025. Например, если вы разместили 50000 рублей сроком на 3 месяца, то прибыль по окончании срока действия договора будет следующий: 50000×0,025=1250 рублей.

Формулы простых и сложных процентов

Сложные проценты по вкладу

Отличие простых процентов от сложных на самом деле довольно большое. При выборе депозитного продукта наверняка каждому приходилось слышать о таком понятии, как капитализация. То есть это та схема начисления прибыли, при которой начисленная прибыль причисляется к телу депозита, а на него в будущем снова начисляется доход.

Обратите внимание, что капитализация осуществляется с определенной периодичностью, например, один раз в неделю, в месяц в квартал или год.

Отсюда можно сделать вывод, что капитализация позволяет получить большую прибыль по сравнению с простым процентом. Чтобы наглядно в этом убедиться рассмотрим формулу расчета сложных процентов, а выглядеть она будет следующим образом: B=(K×H×P/N)/100 , где:

• B – размер начисленной прибыли;
• K – тело депозита;
• H – годовая ставка;
• P – количество дней, в течение которых происходит капитализация;
• N – число дней в году.

Чтобы наглядно понять, как именно будет рассчитываться сложный процент. Рассмотрим простой пример. Сумма депозита 50000 рублей процентная ставка в год 7%, капитализация осуществляется ежемесячно, срок действия договора один год. Произведем расчет прибыли за первый месяц пользования депозитом: B=(50000×7×30/365)/100=287,6 рублей – это прибыль за первый месяц. В следующем периоде расчет будет выглядеть следующим образом: B=(50287,6×7×31/365)/100=298,9 рублей.

Из вышеприведенного примера можно сделать вывод, что капитализация позволяет получать с каждым месяцем большую прибыль по сравнению с предыдущим. Вот только при выборе депозитного предложения обязательно обратить внимание, с какой периодичностью осуществляется капитализация процентов, чем чаще, тем больше выгоды получает клиент.

В чем отличие

На самом деле система начисления процентов по вкладам сильно различается в первую очередь по той причине, что с капитализацией процентов выгода депозита может быть значительно выше, нежели при простой системе. Потому что при простой системе прибыль растет в арифметической прогрессии, а при сложной в геометрической. Чтобы наглядно в этом убедиться, ниже приведена схема сложных процентов в сравнении со схемой простых процентов.

Схема сложных процентов в сравнении со схемой простых процентов

Но, в этом вопросе также есть подводные камни. Условия банковских вкладов строго индивидуальны, поэтому при выборе депозитного продукта в первую очередь обратите внимание на количество периодов капитализации за весь срок действия договора. Например, банк указывает, что по вашему депозитному договору предусмотрена капитализация процентов, но она осуществляется 1 раз в 6 месяцев, то есть первый доход, вы получите спустя полгода после заключения соглашения с банком. При этом вы решили разместить средства лишь на 3 месяца, соответственно, вы получите свои средства раньше, чем банк проведет капитализацию процентов и в данном случае целесообразней выбрать простой расчет процент по вкладу.

Важно! Большинство банков предлагают по одному и тому же депозитному предложению своим клиентам сделать выбор получать прибыль с определенной периодичностью или причислять себя к телу депозита, соответственно, у клиента есть возможность выбрать по какой системе простой или сложной, он хотел бы получать свой доход.

На самом деле понять, в чем состоит принципиальная разница между простыми и сложными процентами достаточно просто, но все же нюанс заключается в том, что банки в договоре не указывают такие понятия, как простые и сложные проценты каждый потенциальный вкладчик должен обращать внимание на все условия договора. Если в договоре указано, что проценты выплачиваются по окончании срока действия договора, соответственно, капитализация по такому договору не предусмотрена.

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, иногда называют капитализацией процентов.

Формулы наращения 1) Формула наращения по сложным процентам Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит Р(1+i), через 2 года - Р (1+i) = Р (1+i 2) через n лет - Р (1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов. S = P (1+i) n где S - наращенная сумма; i - годовая ставка сложных процентов; n - срок ссуды; (1 + i)n - множитель наращения. В практических расчетах в большинстве случаях применяют дискретные проценты, т. е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель (1+i). Наращенные суммы по формулам простых и сложных процентов (множители наращения, соответственно, (1 + ni) и (1 + i) n) различаются между собой даже при условии одинакового периода начисления и одинаковой процентной ставки. Покажем это на примере.

Пример 9. Исходная сумма кредита 100 000 ден. ед. Ставка 30 % годовых. Определить наращенную сумму по простым и сложным процентам за 0, 5 года, 1 год и 2 года. Решение. S 1 = 100000 · (1 + 0, 5 · 0, 3) = 115000 ден. ед. S 2 = 100000 · (1 + 1 · 0, 3) = 130000 ден. ед. S 3 = 100000 · (1 + 2 · 0, 3) = 160000 ден. ед. S 4 = 100000 · (1 + 0, 3) 1/2 = 114017 ден. ед. S 5 = 100000 · (1 + 0, 3) 1 = 130000 ден. ед. S 6 = 100000 · (1 + 0, 3) 2 = 169000 ден. ед. Результаты расчетов запишем в таблицу. Проценты Период начисления суммы 0, 5 года 1 год 2 года Простые 115000 ден. ед. 130000 ден. ед. 160000 ден. ед. Сложные 114017 ден. ед. 130000 ден. ед. 169000 ден. ед.

Обобщая полученные результаты расчетов, можно сделать следующие выводы: 1) при периоде менее года простые проценты более выгодны кредитору, банку; 2) при периоде в 1 год использование простых и сложных процентов приводит к равным результатам; 3) при периоде более года использование сложных процентов приводит к более интенсивному росту наращенной суммы, т. е. выгоднее кредитору, банку.

2) Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени. В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид S = P (1 + i 1) n 1 (1 + i 2) n 2 … (1 + ik)k где i 1, i 2. . . , ik - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n 1, n 2. . . , nk соответственно. Пример 10. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 15 % годовых, плюс маржа 6 % в первые два года, 8 % - в третий год, 10% -в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года. Решение. (1 + 0, 21) 2 (1 + 0, 23) (1 + 0, 25) = 1, 83

3) Формулы удвоения суммы. В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем множитель наращения величине N, в результате получим: а) для простых процентов (1 + niпр) = N, тогда n = (N – 1) / iпр б) для сложных процентов (1 + iсл)n = N, тогда n = ln. N/ln(1 + icл) Эти две формулы называются формулами удвоения и принимают следующий вид: а) для простых процентов n = 1/iпр б) для сложных процентов n = ln 2/ln (1 + iсл) При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы n = ln 2/ln (1 + iсл) можно использовать более простую приближенную, если учесть, что ln 2 ˜ 0, 7, а ln (1 + i) ~ i. Тогда n ~ 0, 7/i

Пример 11. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 3 %. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формулам. Результаты сравнить. Решение. а) Для случая простых процентов n = 1/iпр = 1/0, 03 = 33, 33 лет б) при сложных процентах, вычисленных по точной формуле, n = ln 2/ln (1 + iсл) = 0, 6931 ln (1 + 0, 03) = 23, 45 в) при сложных процентах, вычисленных по приближенной формуле: n ~ 0, 7/i ~ 0, 7/0, 03 ~ 23, 33 лет Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

4) Начисление годовых процентов при дробном числе лет При дробном числе лет проценты начисляются разными способами: 1) по формуле сложных процентов S = P (1 + i) n 2) на основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые, S = P (1 + i) a (1 + bi) где n = а + b, а - целое число лет, b - дробная часть года; 3) в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е. S = P (1 + i) a

Номинальная и эффективная ставки процентов 1) Номинальная ставка Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году т. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле S = P (1 + j/m) N где N - число периодов начисления, М= mn. Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам: 1) по формуле сложных процентов S = P (1 + j/m) N/r где N/r- число периодов начисления процентов, r - период начисления процентов; 2) по смешанной формуле S = P (l + j/m) a (l + bj/m) где а - целое число периодов начисления, т. е. а = - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления r, b - оставшаяся дробная часть периода начисления (b = N/r - а).

Пример 12. Размер ссуды, предоставленной на 28 месяцев, равен 20 млн. ден. ед. Номинальная ставка равна 60 % годовых; начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: на дробную часть начисляются сложные проценты; на дробную часть начисляются простые проценты; дробная часть не учитывается. Результаты расчетов сравнить. Решение. Всего 28/3 периодов начисления, т. е. 9 кварталов и 1 мес. : 1) S = 20 (1 + 0, 6/4)28/3 = 73, 713 млн. ден. ед. ; 2) S = 20 (1 + 0, 6/4)9 (1 + 0, 6/4 1/3) = 73, 875 млн. ден. ед. ; 3) S = 20 (l + 0, 6/4)9 = 70, 358 млн. ден. ед. Из полученных результатов расчета следует, что наибольшего значения наращенная сумма достигает во втором случае, т. е. при начислении на дробную часть простых процентов. Таким образом, для ссудодателя выгоднее второй вариант, так как итоговая сумма получается максимальной, а для заемщика предпочтительнее третий вариант, так как итоговая сумма минимальна.

2) Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m. Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то можно записать равенство для соответствующих множителей наращения: (1 + iэ) n = (1 + j/m) mn где iэ - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением iэ = (1 + j/m) m – 1 Обратная зависимость имеет вид j = m [(1 + iэ) 1/m – 1] Пример 13. Банк начисляет сложные проценты на вклад, исходя из годовой номинальной ставки 0, 12. Вычислить эффективную годовую процентную ставку при ежемесячной и ежеквартальной капитализации процентов. Решение. По формуле iэ = (1 + j/m) m – 1 получаем: Iэ = (1 + j/m) m – 1 = (1 + 0, 12/12) 12 – 1 = 1, 192 – 1 = 0, 192 Iэ = (1 + j/m) m – 1 = (1 + 0, 12/4) 4 – 1 = 1, 1255 – 1 = 0, 1255

Пример 14. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12 % годовых. Решение. Использование формулы j = m [(1 + iэ) 1/m – 1 дает: j = m [(1 + iэ) 1/m – 1] = 4 [(1 + 0, 12) 1/4 – 1] = 0, 115 3) Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов Как и в случае простых процентов, рассмотрим два вида учета - математический и банковский. Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения: S = P (1 + i) n из нее найдем Р: P = S/(1 + i) n = Su n Где u n = 1/(1 + i) n = (1 + i) -n - учетный, или дисконтный, множитель.

Если проценты начисляются т раз в году, то P = S/(1 + j/m) mn = Su mn Где u mn = 1/(1 + j/m) mn = (1 + j/m) –mn - дисконтный множитель. Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Дисконтный множитель показывает, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной. Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле P = S (1 – dсл) n где dсл - сложная годовая учетная ставка. Дисконт определяется как D = S – P = S – S (1 - dсл) = S При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

4) Номинальная учетная ставка процентов В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке описывается формулой P = S (1 – f/m) N где N=тn - общее число периодов дисконтирования. Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта. 5) Эффективная учетная ставка Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе т дисконтирований в году. В соответствии с определением эффективной учетной ставки, найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей: (1 – f/m) mn = (1 – dcл) n из которого следует, что dсл = 1 – (1 – f/m) m Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.

6) Наращение по сложной учетной ставке Наращение является обратной задачей для расчета учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить из формул дисконтирования P = S (1 – dсл) n и P = S (1 – f/m) N. Получаем: S = P/(1 – dсл) n S = P/(1 - f/m) N Пример 15. Рассчитать, какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 200 000 ден. ед. , срок погашения 2 года. Сумма векселя рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10 %. Решение. По формуле S = P/(1 – dсл) n получаем: S = 200000/(1 – 0, 1) 2 = 246913, 58 ден. ед. Пример 16. Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год. Решение. Подстановка в формулу S = P/(1 - f/m) N значений т = 4 и N = 4 2 дает: S = 200000/(1 – 0, 1/4) 8 = 244902, 42 ден. ед.

Непрерывные проценты 1) Наращение и дисконтирование Наращенная сумма при дискретных процентах, как было показано, определяется по формуле S = P (1 + j/m) mn где j - номинальная ставка процентов, m - число периодов начисления процентов в году. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ∞ имеем Используя второй замечательный предел получаем: 1 2 Используя этот предел в выражении (1), получаем, что формула наращенной суммы в случае непрерывного начисления процентов по ставке j имеет вид S = Pe in

Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают б: S = Pe бn Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при т ∞. Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле P = Se –бn 2)Cвязь дискретных и непрерывных процентных ставок Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить, приравнивая соответствующие множители наращения: (1+ i) n = e бn Из этого равенства следует, что б = ln(1+ i) i = еб – 1