Контакты
Главная / Бухгалтерия и кадры

Сложный процент. Формула сложного процента для вклада

Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.

Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. В данной статье речь пойдет о долгосрочных вложениях, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.

Для правильного расчета прибыли необходимо выполнить несложные арифметические действия на основе нижеизложенных формул.

Формула сложного процента (расчет в годах)

Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента.

Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.

Для расчета сложного процента применяем простую формулу:

  • S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;
  • Р – первоначальная величина вклада;
  • n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);
  • I – годовая процентная ставка.

Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:

через 5 лет сумма будет равняться руб.,

а через 10 лет она составит руб.

Если бы мы рассчитывали за короткий период, то сложный процент было бы удобнее рассчитывать по формуле

  • К – количество дней в текущем году,
  • J – количество дней в периоде, по итогам которого банком производится капитализация начисленных процентов (остальные обозначения – как и в предыдущей формуле).

Но тем, кому удобнее ежемесячно снимать проценты по вкладу, лучше ознакомиться с понятием «капитализация вклада», подразумевающим начисление простых процентов.

На графике показано как вырастет капитал при капитализации процентов по вкладу, если вложить 100000,00 руб. на 10 лет под 10%, 15% и 20%

Формула сложного процента (расчет в месяцах)

Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки – ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:

где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.

Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.

Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:

через 5 лет (60 месяцев) сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; руб.

а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.

руб.

Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.

Формула сложного процента для банковских вкладов

Вышеописанные формулы сложного процента – это, скорее всего, наглядные примеры для клиентов, чтобы они могли понять порядок начисления сложных процентов. Эти расчеты несколько проще, чем формула, применяемая банками к реальным банковским вкладам.

Здесь используется такая единица, как коэффициент процентной ставки для вклада (p). Его рассчитывают так:

Сложный процент («наращенная» сумма) для банковских вкладов рассчитывается по следующей формуле:

На ее основе и взяв в качестве примера те же данные, мы рассчитаем сложный процент по банковскому методу.

Для начала определяем коэффициент процентной ставки для вклада:

Теперь подставляем данные в основную формулу:

руб. – это сумма вклада, «выросшая» за 5 лет*;

руб. – за 10 лет*.

*Приведенные в примерах расчеты являются приблизительными, поскольку в них не учтены високосные года и разное количество дней в месяце.

Если сравнивать суммы из этих двух примеров с предыдущими, то они несколько меньше, но все же выгода от капитализации процентов очевидна. Поэтому, если вы твердо решили положить деньги в банк на длительный срок, то предварительный подсчет прибыли лучше делать с помощью «банковской» формулы – это поможет вам избежать разочарований.

(возьмем для примера сложную ставку ссудного процента), под которую могут быть вложены деньги, суммы 5j и 52 имеют различные современные величины PJ и />2  

Капитал, взятый в кредит, вложен под сложную ставку ссудного процента 22% годовых. Для расчета с кредиторами необходимо выплатить 30 000 000 через два года или 36 000 000 через три года. Какой вариант предпочтителен  

Кредит в размере 50 000 000 руб. выдан на два года. Реальная доходность операции должна составить 10% годовых по сложной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 15% в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов , учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.  

Пример 2. Определить величину первоначальной суммы, необходимой для получения через 10 лет капитала в 500 000 000 руб. если используется сложная ставка ссудного процента 12% годовых.  

Поскольку в финансовом управлении рассматриваются вопросы, связанные с принятием решений , касающихся денег, а ценой денег является ссудный процент , при разработке большей части решений по финансированию учитывают ставку ссудного процента . В этой главе рассматривается математическая сторона определения сложных процентов и текущей стоимости . Из гл. 1 мы знаем, что задача дирекции - увеличение капитала акционеров, и выполнение этой задачи частично зависит от распределения во времени потоков денежной наличности. Следовательно, одним из важнейших направлений деятельности является оценка потоков движения денежной наличности. Действительно, многие выводы, приведенные в этой книге, сделаны в зависимости от поднимаемых вопросов. Несмотря на то, что дискуссия имеет математическую основу, в изложении вопросов внимание уделяется лишь нескольким формулам, поэтому суть не теряется в частностях. В примерах нередко используется возведение в степень, что легко выполнить на калькуляторе.  

Если депозит двухгодичный, первоначальные 100 дол. в конце первого года превратятся в 108 дол. при ставке ссудного процента 8 годовых. По окончании второго года 108 дол. становятся 116,64 дол., т. е. добавляются еще 8 дол. как проценты по основной сумме и 0,64 дол. как проценты на проценты за первый год. Другими словами, набегают проценты по уже полученным процентам, отсюда название "сложные проценты ". Следовательно, конечная стоимость на конец второго года равна 100 дол. умножить на 1,08 в квадрате (или 1,1664).  

Несмотря на то что мы рассматривали только ставку ссудного процента , этот подход применим при сложном росте любого рода. Предположим, депозит фирмы равен 100 000 дол., мы ожидаем прирост этой суммы в течение пяти лет по ставке 10% годовых  

Исходя из того, что в нашей стране только осуществляется переход к рыночной экономике , финансово-кредитный механизм еще не отработан в должной мере по сравнению с его состоянием в странах с развитой рыночной экономикой . Представляется, что сегодня сложно учесть такие факторы, как налоговая политика , спрос на заемные средства , изменение показателей валового национального продукта , инфляционные процессы , состояние бюджета страны, возросшая самостоятельность банков. В отечественной практике также не отработан механизм действия двух видов процентных ставок - фиксированной за весь срок предоставления кредитов и плавающей, которая пересматривается через определенные промежутки времени в связи с изменением рыночных и валютных курсов , а также кредитоспособности должника. Поэтому в дальнейшем принимаем фиксированную ставку ссудного процента.  

В рассмотренной упрощенной модели денежного предложения не учитывался ряд факторов, которые в значительной мере определяют количество денег, находящихся в обращении. Так, не принималось во внимание соотношение между наличными деньгами и депозитами. Каждый экономический субъект самостоятельно решает, какую часть денег сохранять в виде наличности, а какую - положить в банк. На его выбор оказывает влияние ряд факторов. Во-первых, чем выше доля потребления в ВВП, тем большую часть денег население будет держать на руках. Во-вторых, объем наличных денег зависит от ставки ссудного процента , ибо хранение наличности "лишает" их владельцев дохода. Поэтому, чем выше ставка ссудного процента , тем меньше наличных денег будет у экономических субъектов . В-третьих, объем наличности зависит и от того, насколько легко или сложно изъять их из банка, т.е. от трансакционных издержек изъятия. Так как СU - наличные деньги , a D - депозиты, то отношение наличности к депозитам сd будет равно  

По ссудам с погашением в рассрочку банки и другие кредиторы обычно устанавливают проценты на базе сложения. Это означает, что процент прибавляют к сумме выплат средств для того, чтобы определить номинальную стоимость векселя. Предположим, что в нашем примере ссуда с погашением в рассрочку предоставлялась на условиях 12 равных ежемесячных выплат, а ссудный процент составил 12%. Заемщик получил 10 000 дол., а номинал векселя, следовательно, равен 11 200 дол. Таким образом, 1200 дол. и идут на выплату процентов. Однако заемщик использует все 10 000 дол. только в первый месяц, в конце этого месяца он должен выплатить 1/12 часть от 11 200 дол., т. е. 933,33 дол. Выплаты на такую же сумму производятся в конце каждого из последующих 11 месяцев до тех пор, пока вексель не будет полностью погашен. На протяжении всего года заемщик использует только около половины первоначальной суммы в 10 000 дол. По сравнению с 12% эффективная ставка процента почти удваивается, что составляет около 22% с учетом сложных процентов . Таким образом, данный ссудный процент выплачивается на основе исходной суммы займа, а не уменьшающегося остатка, что обычно происходит в случаях с другими типами ссуд.  

ПРИМЕР 14.7. Поданным примера 14.1 (варианта) при условии, что сложная ставка, которая характеризует средний уровень ссудного процента на рынке, равна, допустим, 15% годовых, что соответствует ставке за полугодие q = 1,1 51/2 - 1 = 0,07238, или 7,238%. Величины Vt приведены в табл. 14.1 значение z = = 0,994375 найдено в примере 14.2. Получим  

Процент за кредит отражает сложные экономические отношения , которые возникают в процессе обращения ссудных капиталов на рынке. Величина получаемого дохода (процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).  

Следовательно, руководство фирмы должно располагать информацией о стоимости капитала , т.е. о ставке процента на заемный и ссудный капитал , с тем, чтобы принимать грамотные управленческие решения по инвестиционным проектам . На практике нахождение внутренней нормы прибыли требует сложных расчетов.  

Ссудные операции. Доходность ссудных операций (без учета комиссионных) измеряется с помощью эквивалентной годовой ставки сложных процентов (см. 4.2). За открытие кредита, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комиссионные, которые заметно повышают доходность операций, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается.  

ПРИМЕР 10.1. При выдаче ссуды на 180 дней под 8% годовых кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов По формуле (10.2) находим  

Неэффективность системы финансирования НИОКР, созданной в рамках существующих государственных программ , низкая инвестиционная активность

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, иногда называют капитализацией процентов.

Формулы наращения 1) Формула наращения по сложным процентам Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит Р(1+i), через 2 года - Р (1+i) = Р (1+i 2) через n лет - Р (1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов. S = P (1+i) n где S - наращенная сумма; i - годовая ставка сложных процентов; n - срок ссуды; (1 + i)n - множитель наращения. В практических расчетах в большинстве случаях применяют дискретные проценты, т. е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель (1+i). Наращенные суммы по формулам простых и сложных процентов (множители наращения, соответственно, (1 + ni) и (1 + i) n) различаются между собой даже при условии одинакового периода начисления и одинаковой процентной ставки. Покажем это на примере.

Пример 9. Исходная сумма кредита 100 000 ден. ед. Ставка 30 % годовых. Определить наращенную сумму по простым и сложным процентам за 0, 5 года, 1 год и 2 года. Решение. S 1 = 100000 · (1 + 0, 5 · 0, 3) = 115000 ден. ед. S 2 = 100000 · (1 + 1 · 0, 3) = 130000 ден. ед. S 3 = 100000 · (1 + 2 · 0, 3) = 160000 ден. ед. S 4 = 100000 · (1 + 0, 3) 1/2 = 114017 ден. ед. S 5 = 100000 · (1 + 0, 3) 1 = 130000 ден. ед. S 6 = 100000 · (1 + 0, 3) 2 = 169000 ден. ед. Результаты расчетов запишем в таблицу. Проценты Период начисления суммы 0, 5 года 1 год 2 года Простые 115000 ден. ед. 130000 ден. ед. 160000 ден. ед. Сложные 114017 ден. ед. 130000 ден. ед. 169000 ден. ед.

Обобщая полученные результаты расчетов, можно сделать следующие выводы: 1) при периоде менее года простые проценты более выгодны кредитору, банку; 2) при периоде в 1 год использование простых и сложных процентов приводит к равным результатам; 3) при периоде более года использование сложных процентов приводит к более интенсивному росту наращенной суммы, т. е. выгоднее кредитору, банку.

2) Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени. В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид S = P (1 + i 1) n 1 (1 + i 2) n 2 … (1 + ik)k где i 1, i 2. . . , ik - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n 1, n 2. . . , nk соответственно. Пример 10. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 15 % годовых, плюс маржа 6 % в первые два года, 8 % - в третий год, 10% -в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года. Решение. (1 + 0, 21) 2 (1 + 0, 23) (1 + 0, 25) = 1, 83

3) Формулы удвоения суммы. В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем множитель наращения величине N, в результате получим: а) для простых процентов (1 + niпр) = N, тогда n = (N – 1) / iпр б) для сложных процентов (1 + iсл)n = N, тогда n = ln. N/ln(1 + icл) Эти две формулы называются формулами удвоения и принимают следующий вид: а) для простых процентов n = 1/iпр б) для сложных процентов n = ln 2/ln (1 + iсл) При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы n = ln 2/ln (1 + iсл) можно использовать более простую приближенную, если учесть, что ln 2 ˜ 0, 7, а ln (1 + i) ~ i. Тогда n ~ 0, 7/i

Пример 11. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 3 %. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формулам. Результаты сравнить. Решение. а) Для случая простых процентов n = 1/iпр = 1/0, 03 = 33, 33 лет б) при сложных процентах, вычисленных по точной формуле, n = ln 2/ln (1 + iсл) = 0, 6931 ln (1 + 0, 03) = 23, 45 в) при сложных процентах, вычисленных по приближенной формуле: n ~ 0, 7/i ~ 0, 7/0, 03 ~ 23, 33 лет Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

4) Начисление годовых процентов при дробном числе лет При дробном числе лет проценты начисляются разными способами: 1) по формуле сложных процентов S = P (1 + i) n 2) на основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые, S = P (1 + i) a (1 + bi) где n = а + b, а - целое число лет, b - дробная часть года; 3) в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е. S = P (1 + i) a

Номинальная и эффективная ставки процентов 1) Номинальная ставка Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году т. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле S = P (1 + j/m) N где N - число периодов начисления, М= mn. Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам: 1) по формуле сложных процентов S = P (1 + j/m) N/r где N/r- число периодов начисления процентов, r - период начисления процентов; 2) по смешанной формуле S = P (l + j/m) a (l + bj/m) где а - целое число периодов начисления, т. е. а = - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления r, b - оставшаяся дробная часть периода начисления (b = N/r - а).

Пример 12. Размер ссуды, предоставленной на 28 месяцев, равен 20 млн. ден. ед. Номинальная ставка равна 60 % годовых; начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: на дробную часть начисляются сложные проценты; на дробную часть начисляются простые проценты; дробная часть не учитывается. Результаты расчетов сравнить. Решение. Всего 28/3 периодов начисления, т. е. 9 кварталов и 1 мес. : 1) S = 20 (1 + 0, 6/4)28/3 = 73, 713 млн. ден. ед. ; 2) S = 20 (1 + 0, 6/4)9 (1 + 0, 6/4 1/3) = 73, 875 млн. ден. ед. ; 3) S = 20 (l + 0, 6/4)9 = 70, 358 млн. ден. ед. Из полученных результатов расчета следует, что наибольшего значения наращенная сумма достигает во втором случае, т. е. при начислении на дробную часть простых процентов. Таким образом, для ссудодателя выгоднее второй вариант, так как итоговая сумма получается максимальной, а для заемщика предпочтительнее третий вариант, так как итоговая сумма минимальна.

2) Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m. Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то можно записать равенство для соответствующих множителей наращения: (1 + iэ) n = (1 + j/m) mn где iэ - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением iэ = (1 + j/m) m – 1 Обратная зависимость имеет вид j = m [(1 + iэ) 1/m – 1] Пример 13. Банк начисляет сложные проценты на вклад, исходя из годовой номинальной ставки 0, 12. Вычислить эффективную годовую процентную ставку при ежемесячной и ежеквартальной капитализации процентов. Решение. По формуле iэ = (1 + j/m) m – 1 получаем: Iэ = (1 + j/m) m – 1 = (1 + 0, 12/12) 12 – 1 = 1, 192 – 1 = 0, 192 Iэ = (1 + j/m) m – 1 = (1 + 0, 12/4) 4 – 1 = 1, 1255 – 1 = 0, 1255

Пример 14. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12 % годовых. Решение. Использование формулы j = m [(1 + iэ) 1/m – 1 дает: j = m [(1 + iэ) 1/m – 1] = 4 [(1 + 0, 12) 1/4 – 1] = 0, 115 3) Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов Как и в случае простых процентов, рассмотрим два вида учета - математический и банковский. Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения: S = P (1 + i) n из нее найдем Р: P = S/(1 + i) n = Su n Где u n = 1/(1 + i) n = (1 + i) -n - учетный, или дисконтный, множитель.

Если проценты начисляются т раз в году, то P = S/(1 + j/m) mn = Su mn Где u mn = 1/(1 + j/m) mn = (1 + j/m) –mn - дисконтный множитель. Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Дисконтный множитель показывает, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной. Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле P = S (1 – dсл) n где dсл - сложная годовая учетная ставка. Дисконт определяется как D = S – P = S – S (1 - dсл) = S При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

4) Номинальная учетная ставка процентов В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке описывается формулой P = S (1 – f/m) N где N=тn - общее число периодов дисконтирования. Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта. 5) Эффективная учетная ставка Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе т дисконтирований в году. В соответствии с определением эффективной учетной ставки, найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей: (1 – f/m) mn = (1 – dcл) n из которого следует, что dсл = 1 – (1 – f/m) m Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.

6) Наращение по сложной учетной ставке Наращение является обратной задачей для расчета учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить из формул дисконтирования P = S (1 – dсл) n и P = S (1 – f/m) N. Получаем: S = P/(1 – dсл) n S = P/(1 - f/m) N Пример 15. Рассчитать, какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 200 000 ден. ед. , срок погашения 2 года. Сумма векселя рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10 %. Решение. По формуле S = P/(1 – dсл) n получаем: S = 200000/(1 – 0, 1) 2 = 246913, 58 ден. ед. Пример 16. Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год. Решение. Подстановка в формулу S = P/(1 - f/m) N значений т = 4 и N = 4 2 дает: S = 200000/(1 – 0, 1/4) 8 = 244902, 42 ден. ед.

Непрерывные проценты 1) Наращение и дисконтирование Наращенная сумма при дискретных процентах, как было показано, определяется по формуле S = P (1 + j/m) mn где j - номинальная ставка процентов, m - число периодов начисления процентов в году. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ∞ имеем Используя второй замечательный предел получаем: 1 2 Используя этот предел в выражении (1), получаем, что формула наращенной суммы в случае непрерывного начисления процентов по ставке j имеет вид S = Pe in

Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают б: S = Pe бn Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при т ∞. Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле P = Se –бn 2)Cвязь дискретных и непрерывных процентных ставок Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить, приравнивая соответствующие множители наращения: (1+ i) n = e бn Из этого равенства следует, что б = ln(1+ i) i = еб – 1


Сущность процентных платежей. Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока, на который предоставлен кредит, и от величины ссудного процента или иначе процентной ставки.

Процентная ставка характеризует доходность кредитной сделки. Она показывает, какая доля выданного кредита будет возвращена владельцу капитала в виде дохода. Поэтому процентная ставка рассчитывается, как отношение дохода, полученного за определенный период (чаще всего за год), к величине капитала, предоставляемого в кредит. Величина процентной ставки определяется отношением:

Здесь i (%) - процентная ставка, выраженная в процентах.

Величину I часто называют процентными деньгами или процентным доходом, а иногда просто процентами.

В большинстве случаев начисление процентов производится с помощью дискретных процентов, т.е. когда в качестве периодов начисления берутся год, полугодие, квартал, месяц или определенное число дней. В некоторых случаях используется ежедневное начисление.

Существуют различные методы начисления процентов. Основные их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться. В зависимости от этого различают следующие методы начисления процентов:

по простым процентным ставкам;

по сложным процентным ставкам.

Сущность метода начисления по простым процентам сводится к тому, что проценты начисляются в течение всего срока кредита на одну и ту же величину капитала, предоставляемого в кредит.

Метод начисления по сложным процентам заключается в том, что в первом периоде начисление производится на первоначальную сумму кредита, затем она суммируется с начисленными процентами и в каждом последующем периоде проценты начисляются на уже наращенную сумму. Таким образом, база для начисления процентов постоянно меняется. Иногда этот метод называют «процент на процент».

Другое отличие в методах начисления процентов - это установление процентной ставки в качестве фиксированной или переменной величины . Так, например, в контракте может быть определена процентная ставка на первый год в одном размере, а на последующие годы предусматривается ее рост (снижение) на определенную величину. Кроме того, могут применяться и «плавающие» ставки, величина которых «привязывается» к темпам инфляции или изменяющимся ставкам рефинансирования, объявленным Центральным банком, или же ее изменение оговаривается какими-либо другими условиями. Например, в контракте оговаривается первоначальная процентная ставка (базовая ставка), которой пользуются только один период для начисления процентов (допустим, первый квартал), в дальнейшем она будет расти в соответствии с ростом темпов инфляции.

Вычисление наращенных сумм на основе простых процентных ставок. По условиям кредитного контракта процентные деньги могут выплачиваться кредитору или по мере их начисления в каждом периоде, или совместно с основной суммой долга по истечении срока контракта. В последнем случае сумма, получаемая кредитором называется наращенной суммой. Таким образом, наращенная сумма есть результат сложения суммы, предоставляемой в кредит, и процентных денег.

Формула определения наращенной суммы с использованием простых процентов (формула простых процентов) запишется в следующем виде:

Где S - наращенная сумма.

Выражение (1+n.i) называется множителем наращения процентов.

При использовании простых процентов, когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, периоды начисления процентов выражают дробным числом, т.е. как отношение числа дней функционирования сделки к числу дней в году:

где t - число дней функционирования сделки (число дней, на которое предоставили кредит);

К - временная база (число дней в году).

Тогда формула (2.4.) примет вид:

В ряде стран для удобства вычислений год делится на 12 месяцев, по 30 дней в каждом, т.е. продолжительность года К принимается равной 360 дням. Это германский метод начисления процентов. Проценты, рассчитанные с временной базой К = 360 дней, называются объективными или коммерческими. Существует французский метод , когда продолжительность года принимается равной К = 360 дням, а продолжительность месяцев в днях соответствует календарному исчислению. И наконец, в ряде стран используется английский метод , учитывающий продолжительность года в 365 дней, а продолжительность месяцев - в днях, также соответствующих календарному исчислению, как и при использовании французского метода .

В этой связи различают три метода процентных расчетов, зависимых от выбранного периода начисления.

1.Точные
английский метод ). При этом методе продолжительность года К приниается равной 365(366) дням и определяется фактическое число дней t между двумя датами (датой получения и погашения кредита).

2.Обыкновенные
проценты с точным числом дней ссуды (французский метод ). При этом методе величина t рассчитывается, как и в предыдущем методе.

3.Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германский метод ).При этом методе величина t определяется количеством месяцев по 30 дней в каждом, начиная с момента выдачи ссуды и до момента ее погашения и точным числом дней ссуды в неполном месяце; продолжительность года К = 360 дней.

При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимаются за 1 день.

Между величинами процентного дохода, рассчитанными с использованием различной временной базы (I360 и I365 ), при равной продолжительности ссуды t существуют следующие соотношения:

При установлении переменной процентной ставки, т.е. дискретно изменяющейся во времени ставки, наращенная ставка определяется по формуле:

где it - ставка простых процентов в периоде t ;

nt - продолжительность начисления ставки it ;

m - число периодов начисления процентов.

Выше нами рассматривались методы расчета наращенной суммы, когда она является результатом сложения процентного дохода и капитала, предоставленного в кредит. При этом начисление процентов производилось в конце расчетного периода. Такой метод начисления процентов называется декурсивным
(последующим ).

Наряду с рассмотренным методом начислений существует метод, когда прибавляют к начислению процентов уже наращенные в предыдущем периоде суммы, т.е. происходит многоразовое наращение, именуемое реинвестированием
или капитализацией процентного дохода.

В этом случае итоговая наращенная сумма определяется по формуле:

где n1, n2, nt - продолжительность периодов наращения;

i1, i2, it - процентные ставки, по которым производятся реин – вестирование.

Данный метод начисления процентов (с переменной базой) будет подробно рассмотрен в разделе, посвященном сложным процентам.

Вычисление наращенных сумм на основе простых учетных ставок. Наряду с декурсивным методом существует и другой способ начисления процентов. Суть его сводится к тому, что проценты начисляются в начале расчетного периода, при этом за базу (100 %) принимается сумма погашения долга. В этом случае применяется не процентная, а учетная ставка (d ). Такой метод начисления процентов носит название антисипативный (предварительный ). Расчет наращенной суммы производится по формуле:

Таким образом, мы убедились, что простая учетная ставка дает более быстрый рост наращенной суммы, чем аналогичная по величине ставка простых процентов.

При равенстве простой процентной ставки і и простой учетной ставки d (20%) различие в величине множителей наращения определяется сроком ссуды:

Вид ставки

Срок ссуды в годах - n

Процентные вычисления с использованием дивизора. В мировой финансовой практике наряду с рассмотренными методами процентных вычислений существует и ряд других. В частности, применяется модификация формулы для определения величины процентного дохода:

Для числа дней t процентный доход (платежи) составит:

где произведение P.t называют процентным числом, а частное 36000 / i
или 36500 / i - процентным ключом, или постоянным делителем. В финансовой литературе процентный ключ имеет еще одно наименование - дивизор
(обозначение D ).

Дисконтирование по простым процентным ставкам

Стоимость денег и время. Деньги постоянно меняют свою стоимость. Основной концепцией теории финансов есть то, что одна денежная единица сегодня имеет большую стоимость, чем одна денежная единица завтра, через месяц, год. Инвесторы (люди, которые имеют свободные деньги) дают предпочтение тем деньгам, которые у них сегодня, а не тем, которые будут завтра, потому что они дают им возможность снова из денег делать деньги.

Прежде чем вложить свои деньги в какое-нибудь дело, каждый инвестор должен хорошо определить выигрыш и затраты, которые ждут его в будущем. Таким образом, деньги со временем теряют свою стоимость и не могут быть неподвижными. Основными причинами обесценивания денег есть: инфляция; риск; склонность к ликвидности.

Если годовой теми инфляции (общее повышение цен) 20 %, то соответственно покупательная способность одной денежной единицы снизилась на 20 %, т.е. в начале года за 1 д.е. можно купить 10 единиц какого-то товара, а в конце года за нее можно купить лишь 8 единиц.

Рынок означает неуверенность в будущем. Невозможно точно предвидеть, вернуться ли завтра деньги, вложенные сегодня (из-за инфляции и др.). Поэтому каждая финансовая сделка имеет определенный процент риска. Даже финансовые аналитики, опытные инвесторы, несмотря на их компетентность, не могут гарантировать, что доходы, которые они ожидают от некоторых инвестиций, будут такими в будущем. Чем больший период использования денег, тем больший риск, что соответственно уменьшает ожидаемую стоимость денег.

Склонность к ликвидности денег колеблется. Наиболее ликвидные «живые» деньги. За них можно купить все. Одновременно деньги, вложенные в ценные бумаги, товар и т.д., уже менее ликвидны, т. к. для того, чтобы снова перевести ценные бумаги и товар в деньги, требуется время. Поэтому кредиторы или инвесторы, отдавая свои «живые» деньги, надеются на высокие будущие доходы, чтобы оправдать риск и потерю ликвидности.

Будущая стоимость денег - это наращенная сумма S , т.е. сумма, которую следует уплатить через определенное время n за пользование деньгами P . Стоимость денег сегодня, т.е. на данный момент времени Р0
называется текущей стоимостью.

Таким образом, какая-либо сумма денег имеет три характеристики: начальную стоимость Р0 - стоимость на начало отсчета времени, текущую стоимость Р
- стоимость на какой-либо момент времени, будущую стоимость S - стоимость на конец отсчета времени.

Чтобы начальная сумма Р0 денег не утратила своей стоимости, на нее следует начислить проценты по ставке не меньшей от нормы банковского процента.

В финансовой практике часто приходится решать задачу обратную процессу наращивания, а именно: по известной будущей величине денег, которые следует уплатить за определенное время n , определить начальную сумму Р0 .

Например: клиент хочет через 2 года иметь на счете 20000 д.е. Какую сумму он должен положить сегодня в банк, если он платит 30 % годовых простых. Легко получаем следующий результат:

20000 = P (1+2×0,3) ,

P = 20000/1,6 = 12500 д.е.

Неравноценность денег в разные календарные сроки вызвала к жизни важное понятие дисконтирования. Эта процедура является обратной по отношению к процессу начисления процентов. Дисконтированием называется авансовое удержание с заемщика процентов в момент выдачи ссуды, то есть до наступления срока ее погашения.

Другим вариантом дисконтирования является учет векселей в банке, когда банк принимает вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг (долговых обязательств).

Исходной величиной выступает не начальный вклад Р , а некоторая будущая сумма S . Вопрос состоит в том, чтобы определить эквивалентную сумму Р , отстоящую на t
предшествующих периодов до срока выплаты S . В зависимости от принятого критерия эквивалентности можно выделить два подхода к расчету предшествующих сумм.

Во-первых, по размеру вклада Р , который при начислении процентов через t периодов дает сумму S , и, во-вторых, по размеру платежа к которому придем при удержании процентов с финальной суммы S за срок
t . Таким образом, при одном толковании за базовую величину, то есть за 100 %, принимается размер вклада Р , в то время как при другой - за 100 % берется будущая сумма S . Кроме того, по каждому варианту дисконтирование можно производить как по простым так и по сложным процентам.

При дисконтировании определяют так называемые мультипликаторы (дисконтные множители), показывающие, какую долю составляет Р в величине S . Величину Р , найденную дисконтированием S по вкладу, называют современной, или приведенной величиной S . Это понятие является важнейшим в количественном анализе финансовых операций, т.к. именно с помощью дисконтирования учитывается такой фактор, как время.

Формулы дисконтирования по платежу (второй подход) можно получить, используя известные формулы с заменой схемы начисления процентов на вклад Р схемой их удержания с суммы S
за тот же срок платежа. За основу их построения можно принять понятие единичного, периода удержания процентов (дисконтирования) и учетной ставки d , которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы S на один период “назад”. Отсюда следует, что на начало этого периода эквивалентная выплате S сумма составит величину Р , которая при дробном измерении ставки определяется формулой:


По простым процентам за t периодов получим величину:

Данный вид дисконтирования используется при учете векселей.

Виды дисконтирования

Таким образом, дисконтирование - это определение начальной или современной суммы Р по известной конечной сумме S , которую следует отдать через некоторое время n . Разность S - P называется дисконтом и обозначается D .

Дисконт - это процентные деньги, начисленные и полученные заранее.

Сумму Р , вычисленную при дисконтировании, часто называют приведенной величиной платежа S .

Задача дисконтирования возникает очень часто при выработке условий контракта между двумя предприятиями, различными объектами хозяйствования, при определении настоящей рынковой стоимости векселей акций, облигаций и других ценных бумаг. Различают два вида дисконтирования: математическое и банковское.

Математическое дисконтирование

При математическом дисконтировании решается задача, обратная определению наращенной суммы. Сформулируем ее следующим образом: какую сумму следует выдать в долг на n лет, чтобы при начислении на нее процентов по ставке i получить наращенную сумму, равную S .

Для решения этой задачи используют формулу наращения по простой ставке процентов (2.4.):

где 1 / (1+n.i) - дисконтный множитель, показывающий, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной.

Используя приведенные формулы рассчитаем величину эффективной годовой процентной ставки:


или

.

Банковское дисконтирование

Банковское дисконтирование основано на использовании учетной ставки d , т.е. проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды.

При банковском дисконтировании дисконтированная величина определяется по формуле:

где Р ¢
- дисконтированная величина;

S - наращенная сумма долга;

d - учетная (дисконтная) ставка, выраженная в десятичных дробях;

n – временный интервал от момента учета финансового инструмента до даты уплаты по нему в годах.

Дисконтирование с помощью математического и банковского методов, т.е. по процентной ставке i и учетной ставке d приводит к различным финансовым результатам. При использовании учетной ставки фактор времени учитывается более “строго”.

В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещаются начисление процентов по ставке i и дисконтирование по ставке d . В этом случае наращенная величина ссуды будет определяться по формуле:

где Р - сумма, предоставленная в кредит;

n - общий срок платежного обязательства;

n ¢ - срок от момента учета обязательства до даты погашения долга, т.е. n ¢< n ;

S - сумма, полученная при учете обязательства.

Определение параметров по простым процентам

Для определения срока ссуды в днях следует воспользоваться формулой:

где К = 360 или 365 (366) дней.

Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формуле:

Расчет простых процентов в условиях инфляции

При начислении процентов может быть учтена инфляция - снижение покупательной способности денег. Инфляцию характеризуют два показателя: уровень инфляции и индекс инфляции. Уровень инфляции показывает, на сколько процентов изменяются цены за некоторый период времени, а индекс инфляции - во сколько раз выросли цены за период времени.

N < 1 можно определить по формуле:

Рассмотрим случай, когда при заданном годовом уровне инфляции ссуда выдается на срок больше года (n > 1). Если n - целое число, то получим.

  • Лекция. Конструирование гражданских зданий из крупных блоков.
  • Лекция 02.10.2013. Основные технические документы, предъявляемые на государственные и контрольные испытания

    • Вопросы для рассмотрения:

    1. Начисление сложных годовых процентов.

    2. Сравнение роста по сложным и простым процентам.

    3. Наращение процентов несколько раз в году.

    4. Дисконтирование по сложной процентной ставке.

    5. Определение срока финансовой операции и величины процентной ставки.

    6. Непрерывное наращение и дисконтирование.

    В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

    − проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

    − срок ссуды более года.

    Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

    – за один период начисления;

    – за два периода начисления;

    отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:

    где – наращенная сумма долга; – первоначальная сумма долга; i – ставка процентов в периоде начисления; n – количество периодов начисления. Эта формула называется формулой сложных процентов.

    Различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

    Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

    (1 + i ).

    Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

    (1 + i) n .

    Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i .

    Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке.

    Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

    При любом i ,

    если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i) n

    если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i) n

    если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i) n

    Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

    − более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

    − более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

    − обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

    Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

    В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

    − общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

    ,

    где n – период сделки; a – целое число лет; b – дробная часть года.

    − смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:

    .

    Поскольку b < 1 , то (1 + bi) > (1 + i) a , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

    Cмешанная схема более выгодна кредитору.

    Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (i ).

    Номинальная ставка (nominal rate ) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

    Эта ставка:

    − во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;

    − во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

    Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит

    Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

    ,

    где i – номинальная годовая ставка процентов.

    Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate ), измеряющая тот реальный относительный доход , который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j/m :

    ,

    .

    Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.

    Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

    Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

    где i k – последовательные во времени значения процентных ставок; n k – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.

    Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно , за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

    .

    Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e i , где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

    Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

    Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ , в отличие от ставки дискретных процентов (i ).

    Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

    При дискретном начислении каждая «ступенька» характеризует прирост основной суммы долга в результате очередного начисления процентов. Обратите внимание, что высота «ступенек» все время возрастает.

    В рамках одного года одной «ступеньке» на левом графике соответствует две «ступеньки» на среднем графике меньшего размера, но в сумме они превышают высоту «ступеньки» однократного начисления. Еще более быстрыми темпами идет наращение при непрерывном начислении процентов, что и показывает график справа.

    Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов наращение первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

    Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

    Также как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

    − срок ссуды,

    − ставка сложных процентов.


    | | 3 | | | | |