Главная / Бизнес в интернете

Методы начисления простых процентов. Способы начисления процентов

При этом общая ежемесячная сумма платежа постепенно уменьшается. Аннуитетные и дифференцированные платежи с точки зрения получателя При одинаковых условиях (срок погашения, процентная ставка) существуют два главных отличия: · При аннуитетном способе погашения сумма процентов (переплата) будет выше. · При дифференцированном способе погашения суммы нескольких первых платежей будут выше. Например, сделаем расчет процентов по: · сумма кредита 200 000 руб. · процентная ставка 25% · срок погашения 40 месяцев · Аннуитетные платежи.

Какая методика расчета кредита?

Методика расчета кредита в банке будет зависеть именно от выбора способа его погашения. Существует три варианта расчета, предусматривающие: — ежемесячную выплату части с; — аннуитетный (равнозначный) платеж; — единовременную выплату кредита с периодическим возвратом процентов. Методы расчета в банке по каждому варианту выплаты являются разными и рассчитываются по различным формулам. Методика расчета при ежемесячной выплате его части с процентами По данному методу расчета кредита предусматривается ежемесячный возврат одной и той же кредитной части вместе с процентами, размер которых оговаривается заранее.

Размер очередного кредитного платежа определяется при помощи формулы: V = pV/n, в которой: V — размер очередного платежа; pV- начальный или текущий кредитный размер на момент расчета; n – число месяцев. Методика расчета по данному варианту позволяет узнать размер очередного платежа по процентам, который может быть определен по формуле: I = pV * rate, здесь: I — размер очередной выплаты по процентам; pV — изначальный или текущий кредитный размер на момент расчета; rate — ежемесячная ставка процентов, 1/12 годовой. Методика расчета для аннуитетного платежа Согласно данному методу расчет по предусматривает погашение долга ежемесячными равнозначными (при условии неизменной кредитной ставки) платежами, которые включают в себя не только часть по уплате процентов, но и часть по возврату самого кредита.

Методы расчета процентов по кредиту

n .

где V – величина очередного платежа по кредиту; PV – первоначальная сумма долга; n – срок кредита в месяцах. Величина очередного процентного платежа рассчитывается по формуле: I = PV х r . где I – величина очередного процентного платежа; r – месячная процентная ставка (r = R/12); R – годовая процентная ставка. Например. Иванов А.К.

Считаем проценты по кредитам

Чтобы обрести навык, лучше самим рассчитать проценты.

Наиболее популярны два способа расчета ежемесячных платежей. 1. Метод начисления процентов на остаток долга по (дифференцированные платежи). Сумма взятого делится на срок кредита в месяцах, в итоге получается сумма, которая ежемесячно будет идти на погашение основной суммы долга. Ежемесячно на сумму остатка по основному долгу начисляются проценты исходя из ставки, указанной в договоре.

Сущность процентной ставки и методика начисления процентов по кредиту

Понятно, что данная закономерная плата за получение определенного блага, неумолимо увеличивает размер кредита, и, чем больше срок, тем больше размер процентов. Как же происходит начисление по кредиту? Банки не держат такую информацию в тайне, однако большинство людей пренебрегают возможностью самостоятельного расчёта процентов. А зря. Предварительный растет всех необходимых переплат, убережет Вас от «навешивания» дополнительных платежей (таких, например, как страховка, которая, кстати говоря, далеко не всегда является обязательной), да и позволит еще раз подумать о посильности ноши кредита.

Стандартную формулу расчета процентов можно представить следующим образом: где Sпр – сумма; Sкр – тело; Ткр – срок кредита (в месяцах); %год – ставка процента (годовых). Пример 1. Вы берете в банке на сумму 50 000 рублей (Sкр) на три года (36 месяцев – Ткр) под 18 процентов годовых (%год).

Как рассчитать кредит

Размер суммы указывается в договоре, и на основании долга рассчитывается график уплаты займа. - величина средств за пользование заемной суммы.

График платежей - обязательное дополнение к кредитному соглашению. Используется два вида погашения долга: аннуитетные и дифференцированные методы оплаты. В зависимости от способа изменяется метод расчета процентов, ежемесячной выплаты и переплаты. Расчет платежей при аннуитетном методе погашения Аннуитет - неизменность ежемесячного платежа на весь период кредитования.

В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов.

Применяются простые и сложные проценты.

Простые проценты используются, прежде всего, при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. Как правило, в настоящее время преимущественно применяется изложенный выше способ. При этом общий объем платежей заемщика с учетом основной суммы долга составит:

S = P(1 + ni), (2.3.1)

где S- сумма выплат по кредиту с учетом первоначального долга;

P-первоначальный долг;

i-ставка процентов;

n-продолжительность ссуды в годах, либо отношение периода пользования ссудой в днях к применяемой базе (360 или 365 дням).

Очень часто в банковской практике приходится производить операцию, обратную процедуре начисления процентов. Это имеет место, например, в случае обращения дисконтных векселей. В этом случае при определении первоначального долга будет применяться следующая формула:

Предположим, банк выпустил вексель на следующих условиях: вексельная сумма по номиналу 100 млн руб. сроком на 3 месяца при условии уплаты 120% годовых. Сумма платежа в случае размещения векселя составит:

млн руб. (2.3.3)

При процедуре учета векселей для определения суммы платежа до истечения срока их предъявления используется следующая формула:

S = P(1-- nd), (2.3.4)

где d -- простая учетная ставка.

Например, банк учитывает вексель за 20 дней досрочно до установленной даты погашения обязательства. При этом вексельная сумма дана 100 млн руб., а учетная ставка -- 130% годовых. В этом случае сумма, по которой вексель учитывается, составит:

млн руб. (2.3.5)

В банковской практике возможно использование сложного процента, как правило, при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга. В отечественной практике метод начисления сложных процентов получил наибольшее распространение по депозитным счетам частных лиц.

При использовании этого метода размер начисленных средств включается в задолженность и на них продолжает начисляться процент. Формулу для начисления сложных процентов и определения общей суммы задолженности можно представить в виде:

S = P(l + i) n -- при постоянной ставке процентов; (2.3.6)

S = P(l + i) n ? (1 + i 2) n 2 …(1 + i k) n k --при переменной ставке процентов,

где S- сумма долга через k лет;

P- объем предоставленной ссуды;

i k - ставка процента;

n k - продолжительность ссуды в годах, в течение которых применялись данные ставки.

Рассмотрим условный пример.

Допустим, банком выдана ссуда заемщику в размере Р = 10000 руб. на 5 лет с уплатой 10% годовых по истечении срока займа. Определить размер задолженности через 5 лет.

S 5 = 10000 ?(1 + 0,1) 5 = 16 105 руб. (2.3.7)

Общая сумма начисленных за 5 лет процентов при указанном способе составит:

S 5 -- P = (16 105--10000) = 6 105 руб. (2.3.8)

В случае, если бы банк использовал простые проценты и взыскивал их ежегодно, то доход от этой сделки был бы равен:

P xixk = 10 000 ? 10% ? 5 = 5 000 руб. (2.3.9)

Как видим, получено довольно ощутимое отклонение, которое ведет к увеличению чистого дохода банка на 1 105 руб. .

При начислении процентов несколько раз в году рассмотренная выше формула сложных процентов примет вид:

S = P(1 + Im) N , (2.3.10)

где m -- число начислений процентов в году;

N -- общее число периодов начисления процентов.

Банк должен тщательно анализировать все моменты, которые могут в конечном итоге повлиять на прибыльность банковских операций. Например, необходимо учитывать характер инфляции и в этой связи определять, что целесообразней для банка: либо наращивать сумму долга посредством начисленных, но невостребованных процентов, либо получать ежегодную плату за кредит.

Возможны различные способы начисления процента: они определяются характером измерения количества дней пользования ссудой и продолжительностью года в днях (временной базы для расчета процентов). Так, число дней ссуды может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого полного месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продолжительности года (365 или 366 дней) или приближенно к 360 дням. Соответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов:

1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды; этот способ

дает самые точные результаты и применяется многими центральными и

крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для

расчета используется точное число дней ссуды, временная база равняется фактической продолжительности года. Например,

Р--сумма выданного кредита -- 100 000 руб..

i --ставка процента -- 9% годовых.

K-- точное число дней ссуды,

S -- наращенная сумма долга.

S = 100000 ? (1 + 0,09% ? 260 да.: 365 дн.) = 106411 руб. (2.3.11)

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. В этом случае также как и в предыдущем, для расчета берегся точное число дней ссуды, но временная база приравнивается к 360 дням. Если срок кредита превышает 360 дней, то сумма начисленных процентов будет больше, чем предусмотрено годовой ставкой (так, если период ссуды равен 364 дням, то 364:360=1,011). Рассмотрим данный способ на предложенном выше примере:

S 2 = 100000 ?(1 + 0,09% ? 260 дн.: 360 дн.) = 106 499 руб. (2.3.12)

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

В нашем примере приближенное число дней ссуды равно 257 дням (S 3), учитывая это:

S 3 = 100 00 ? (1 + 0,09%?257 дн.: 360 дн.) = 106424 руб. (2.3.13)

Практика показывает, что второй способ начисления процентов, а именно, обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды дает несколько больший результат относительно двух других вариантов, что необходимо иметь ввиду кредитору при оформлении ссуды.

Таким образом в банковской практике применяются простые и сложные проценты. Простые проценты используются, прежде всего, при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. Сложный процент используется при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга. Применяют следующие варианты начисления сложных процентов: точные проценты с фактическим числом дней ссуды; обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

3. Изменение процентных ставов банков Республики Беларусь в условиях мирового экономического кризиса

Мировая экономика в 2006--2009 гг. столкнулась с одним из самых серьезных экономических и финансовых кризисов со времен Великой депрессии 1930-х гг. Возникшие в 2006 г. проявления финансовой нестабильности не ограничились убытками финансовых организаций и нарушениями в работе финансовых рынков. Несмотря на предпринятые мировым сообществом стабилизационные меры, к числу которых относились, в частности, снижение базовых процентных ставок центральных банков, вливания ликвидности и рекапитализация системно значимых кредитно-финансовых организаций, а также реструктуризация национальных финансовых систем и применение дополнительных гарантий по вкладам, сокращение объемов и удорожание внешнего финансирования реального сектора мировой экономики привело к снижению темпов мирового экономического роста, инвестиций, занятости на фоне нарастания инфляции, ухудшения финансового состояния предприятий реального и финансового сектора экономики, домашних хозяйств. К концу 2008 г. финансовый кризис перерос в полномасштабный экономический и в той или иной мере затронул экономические системы практически всех стран мира.

Сложившаяся экономическая и финансовая ситуация потребовала определенной корректировки процентной политики и в Республике Беларусь.

Процентная политика в условиях неблагоприятной внешнеэкономической ситуации и нарастания трудностей на внутреннем валютном рынке была направлена на поддержание реальных ставок на положительном уровне. Тем самым она содействовала обеспечению стабильности финансовой системы, платежного баланса и в целом экономической ситуации. Учитывая более высокий уровень инфляции, чем прогнозировалось, Национальный банк с середины 2008 г. начал постепенно повышать ставку рефинансирования, доведя ее с 17 декабря 2008 г. до уровня 12% годовых, а с 8 января текущего года -- до 14%. Вплоть до настоящего времени ставка рефинансирования остается на данном уровне (рисунок 1).

Рисунок 1

Средняя процентная ставка по вновь привлеченным срочным депозитам в национальной валюте в декабре 2008 г. сложилась на уровне 15,2% годовых, что на 5,1 процентного пункта выше по сравнению с декабрем 2007 г. (10,1%).

Средняя процентная ставка по новым кредитам банков в национальной валюте в декабре 2008 г. составила 17,5% годовых, что на 4,4 процентного пункта выше уровня декабря 2007 г. (13,1%).

Средняя процентная ставка по вновь выданным кредитам банков в СКВ в декабре 2008 г. составляла13,4% годовых, увеличившись на 2,4 процентного пункта относительно декабря 2007 г. (11%).

Для поддержания финансовой стабильности в начале января 2009 г. были увеличены процентные ставки по постоянно доступным операциям регулирования ликвидности Национального банка на 2 процентных пункта (по кредиту "овернайт" и сделкам СВОП "овернайт" -- до 22% годовых, по депозитам -- до 10% годовых). В апреле 2009 г. в связи со снижением темпов инфляции данные процентные ставки по операциям Национального банка были снижены на 2 процентных пункта (до 20 и 8% соответственно). Однако последующий рост спроса населения на иностранную валюту и снижение срочных рублевых вкладов физических лиц потребовали вновь повысить указанные выше ставки до прежнего уровня (с 17 июня текущего года -- 22 и 10% годовых соответственно).

Отражая конъюнктуру финансового рынка, заметно увеличились ставки по депозитам и кредитам, предоставляемым белорусскими банками. Так, например, средняя процентная ставка по вновь привлеченным срочным депозитам в национальной валюте, по предварительным данным, в июне 2009 г. сложилась на уровне 17,3% годовых, что на 2,1 процентного пункта выше по сравнению с декабрем 2008 г. (15,2% годовых).

Средняя процентная ставка по новым кредитам банков в национальной валюте в июне 2009 г. составила 20,9% годовых, что на 3,4 процентного пункта выше уровня декабря 2008 г. (17,5% годовых) (рисунок 2).

Рисунок 2

При прогнозируемом Министерством экономики уровне инфляции на 2009 г. (9--11% годовых) и исходя из допустимого изменения курса белорусского рубля к корзине валют, ставка рефинансирования к концу текущего года должна составить 10--12%, как это и определено в Основных направлениях денежно-кредитной политики на 2009 год. Вместе с тем Национальный банк может корректировать ставку рефинансирования в случае изменения Министерством экономики официальных прогнозов инфляции с учетом складывающихся реальных тенденций в экономике и денежно-кредитной сфере. В 2009 г. Национальный банк будет поддерживать положительные в реальном выражении процентные ставки по операциям Национального банка на финансовом рынке.

По итогам работы экономики в I квартале текущего года, в случае ее прогнозируемого развития, представляется возможным постепенное снижение уровня ставок с целью обеспечения большей доступности кредитов для населения и предприятий.

В соответствии с Основными направлениями денежно-кредитной политики к концу 2009 г. процентные ставки по новым кредитам нефинансовому сектору должны составить 13--15% годовых, по новым срочным депозитам в банках -- 10--12% годовых. В настоящее время под влиянием инфляционных и девальвационных процессов в экономике на рынке банковских услуг существенно поднялись процентные ставки по кредитам и депозитам.

Национальный банк исходит из того, что достигнутый в настоящий период уровень процентных ставок следует рассматривать как предельный. Нет объективных причин для их дальнейшего повышения. Динамика депозитов населения стабилизировалась. Проводимые антиифляционные меры позволяют прогнозировать замедление темпов инфляции. Осуществлен переход к привязке белорусского рубля к валютной корзине, который стабилизирует курсовые колебания. Необходимо постепенно перейти от роста процентных ставок на рынке депозитов и кредитов к их снижению и обеспечить выполнение прогнозных параметров основных направлений денежно-кредитной политики на 2009 год.

Банкам в первую очередь следует пересмотреть в сторону постепенного снижения на 2--3 процентных пункта ставки по срочным валютным депозитам физических лиц. Это будет стимулировать сбережения в национальной валюте и последовательно приведет к более низким процентным ставкам по депозитам и кредитам в белорусских рублях. Как ориентир следует рассматривать выход на уровень процентных ставок прошлого года.

Время как фактор в финансовых и коммерческих расчетах

В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.

Фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег , относящихся к разным моментам времени. Дело в том, что даже в условиях отсутствия инфляции и риска 1 млн. руб., полученных через год, не равноценен этой же сумме, поступившей сегодня. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Очевидным следствием принципа «неравноценности» является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени. Подобного рода суммирование допустимо лишь там, где фактор времени не имеет значения - например, в бухучете для получения итогов по периодам и в финансовом контроле.

В финансовых вычислениях фактор времени обязательно учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов.

Проценты и процентные ставки

Под процентными деньгами или, кратко, процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: в виде выдачи денежной ссуды, продажи в кредит, помещении денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д.

В какой бы форме не выступали проценты, это всегда конкретное проявление такой экономической категории, как ссудный процент.

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки - отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления . Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или натуральной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или даже 1/32.

Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. в отдельные (обычно равноотстоящие) моменты времени (дискретные проценты ), причем, в качестве периодов начисления принимают год, полугодие, квартал, месяц. Иногда практикуют ежедневное начисление, а в ряде случаев удобно применять непрерывные проценты .

Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или ростом первоначальной суммы.

В количественном финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле - как измеритель степени доходности (эффективности) финансовой операции или коммерческо-хозяйственной деятельности.

В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми , а во втором - сложными процентными ставками .

Процентные ставки, указываемые в контрактах, могут быть постоянными или переменными (« плавающими ») . Плавающие ставки часто применяются во внешнеэкономических операциях. В этом случае значение ставки равно сумме некоторой изменяющейся во времени базовой величины и надбавки к ней (маржи ). Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR - London interbank offered rate ) или московская межбанковская ставка МИБОР. Размер маржи определяется целым рядом условий (сроком операции и т.д.). Судя по мировой практике, он обычно находится в пределах 0,5-5%. В контракте может использоваться и переменный во времени размер маржи.

Теперь мы рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются разовые платежи при выдаче и погашении кредита или депозита. Задачи такого анализа сводятся к расчету наращенной суммы, суммы процентов и размера дисконта, современной величины (текущей стоимости) платежа, который будет произведен в будущем.

Формула наращения по простым процентам

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Пусть P первоначальная сумма денег, i - ставка простых процентов. Начисленные проценты за один период равны Pi , а за n периодов - Pni .

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией, членами которой являются величины

P, P+Pi=P(1+i), P(1+i)+Pi=P(1+2i) и т . д . до P(1+ni).

Первый член этой прогрессии равен P , разность Pi , а последний член определяемый как

S=P(1+ni) (1)

и является наращенной суммой. Формула (1) называется формулой наращения по простым процентам или, кратко, формулой простых процентов. Множитель (1+ ni ) является множителем наращения . Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы. Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы P и суммы процентов I

S=P+I, (2)

где

I=Pni. (3)

Процесс роста суммы долга по простым процентам легко представить графически (см. Рис. 1 ). При начислении простых процентов по ставке i за базу берется первоначальная сумма долга. Наращенная сумма S растет линейно от времени.

Пример 1.

Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых процентов, равной 15% годовых.

I =100000 1,5 0,15=22500 руб. - проценты за 1,5 года

S =100000+22500=122500 руб. - наращенная сумма.

Рис. 1. Наращение по простой процентной ставке

Практика начисления простых процентов

Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях: (1) при заключении краткосрочных контрактов (предоставлении краткосрочных кредитов и т.п.), срок которых не превышает года (n £ 1); (2) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются.

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить какая часть процента уплачивается кредитору. Для этого величину n выражают в виде дроби

n = t / K , где

n - срок ссуды (измеренный в долях года),

K - число дней в году (временная база),

t - срок операции (ссуды) в днях.

Здесь возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы K и способом измерения срока пользования ссудой.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный или коммерческий процент . В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366.

Определение числа дней пользования ссудой также может быть точным или приближенным . В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, приближенно считая все месяцы равными, содержащими по 30 дней. В обоих случаях счет дней начинается со следующего дня после открытия операции. Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить на компьютере, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году.

Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсчета дней ссуды, получаем три варианта расчета процентов, применяемые в практике:

(1) точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365) - британский;

(2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360) - французский;

(3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360) - германский.

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.

Простые переменные ставки

Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид

S = P(1+n 1 i 1 +n 2 i 2 +...) = P (1+ S n t i t ), (4)

где

P - первоначальная сумма (ссуда),

i t - ставка простых процентов в периоде с номером t ,

n t - продолжительность периода t - периода начисления по ставке i t .

Пример 2.

Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на каждый последующий на 1% меньше, чем в предыдущий. Определим множитель наращения за весь срок договора.

1+ S n t i t = 1+0,25 0,10+0,25 0,09+025 0,08+0,25 0,07 = 1,085

Реинвестирование по простым процентам

Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована, хотя, скорее всего, и под другую процентную ставку, и этот процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N . Тогда в случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N вычисляется находится по формуле

S = P(1+n 1 i 1)(1+n 2 i 2) = , (5)

где

n 1 , n 2 ,..., n m - продолжительности последовательных

периодов реинвестирования,

i 1 , i 2 ,..., i m - ставки, по которым производится

реинвестирование.

Дисконтирование и учет по простым ставкам

В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S , соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму P . Расчет P по S называется дисконтированием суммы S . Величину P , найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью ) суммы S . Проценты в виде разности D = S - P называются дисконтом или скидкой . Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом . Дисконт как скидка с конечной суммы долга может определяться через процентную ставку или в виде абсолютной величины.

Таким образом, в практике используются два принципа расчета процентов: (1) путем наращения суммы ссуды и (2) устанавливая скидку с конечной суммы долга.

В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Величина P эквивалентна сумме S в том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной S . Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением. Но понятие приведения шире, чем дисконтирование. Приведение - это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то - наращение.

Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.

Математическое дисконтирование. Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче

S=P(1+ni),

то в обратной

. (6)

Дробь в правой части равенства при величине S называется дисконтным множителем . Этот множитель показывает какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен

D=S-P. (7)

Банковский или коммерческий учет . Операция учета (учета векселей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка , которую мы обозначим символом d .

По определению, простая годовая учетная ставка находится как

. (8)

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

D=Snd, (9)

откуда

P=S-D=S-Snd=S(1-nd). (10)

Множитель (1- nd ) называется дисконтным множителем. Срок n измеряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.

Наращение по учетной ставке. Учетная ставка может использоваться для наращения, т.е. для расчета S по P . В этом случае из формулы (10) следует, что

. (11)

Сравнение ставки наращения и учетной ставки. Операции наращения и дисконтирования по своей сути противоположны, но ставка наращения и учетная ставка могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае, в зависимости от применяемой ставки, можно различать прямую и обратную задачи.

Ñòàâêà

Ïðÿìàÿ çàäà÷à

Îáðàòíàÿ çàäà÷à

íàðàùåíèÿ I

íàðàùåíèå: S = P (1+ ni )

Äèñêîíòèðîâàíèå:

P = S /(1+ ni )

ó÷åòíàÿ d

äèñêîíòèðîâàíèå:

P=S(1-nd)

Íàðàùåíèå:

S = P /(1- nd )

Совмещение начисления процентов по ставке наращения и дисконтирования по учетной ставке . В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга, необходимо решить две задачи: (1) определить конечную сумму долга на момент его погашения; (2) рассчитать сумму, получаемую при учете, путем дисконтирования конечной суммы долга, применяя учетную ставку, действующую в момент учета.

Решение двух этих задач можно записать в виде одной формулы, содержащей наращение по ставке простых процентов, фигурирующей в долговом обязательстве, и дисконтирование по учетной ставке:

P 2 =P 1 (1+n 1 i)(1-n 2 d),

где

P 1 - первоначальная сумма ссуды,

P 2 - сумма, получаемая при учете обязательства,

n 1 - общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты,

n 2 - срок от момента учета до погашения долга.

Пример 3.

Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i = 20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d =15%. Требуется определить сумму, получаемую при учете.

Решение.

млн. руб.

Отметим, что при наращении здесь использовалась временная база 365 дней, а при дисконтировании - 360.

Определение продолжительности ссуды. Иногда задача ставится таким образом, что требуется найти временной интервал, за который исходная сумма при заданной ставке процентов вырастет до нужной величины, или срок, обеспечивающий определенный дисконт с заданной величины. Другими словами, речь идет о решении формул (1) и (10) относительно n .

При использовании простой ставки наращения i из (1) получаем

, (12)

а при учетной ставке d из (10) имеем

. (13)

Формулы (12) и (13) дают срок, измеряемый в годах, но простые ставки в основном используются в краткосрочных операциях, когда срок исчисляется днями. В этом случае срок финансовой операции в днях выражается как

t = nK , (14)

где K - временная база.

Определение уровня процентной ставки. Уровень процентной ставки может служить мерой доходности операции, критерием сопоставления альтернатив и выбора наиболее выгодных условий. Из тех же формул (1) и (10) получаем ставку наращения i и учетную
ставку d

(15)

(16)

где использовалось соотношение (14). Напомним, что срок n в двух формулах имеет разный смысл: в первом случае это весь срок операции, а во втором - оставшийся срок до погашения.

Пример 4.

Определить доходность операции для кредитора, если им предоставлена ссуда в размере 2 млн. руб. на 100 дней и контракт предусматривает сумму погашения долга 2,5 млн. руб. Доходность выразить в виде простой ставки процентов i и учетной ставки d . Временную базу принять равной K =360 дней.

Решение.

, т.е. 90%,

т.е. 72%.

Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется за весь срок ссуды в виде доли (или процента) от суммы погасительного платежа. Таким образом, уровень процентной ставки здесь задается в неявном виде. Но нетрудно вывести формулы, с помощью которых значения этих ставок можно вычислить.

Пусть S - размер погасительного платежа, d n - доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды n . Требуется определить каким уровням годовых ставок i и d эквивалентны такие условия.

Итак, S - сумма возврата в конце срока ссуды, P = S (1- d n ) - реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора.

(17)

(18)

Пример 5.

Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой ставки простых процентов i . Считать временную базу K равной 365 дням.

Решение.

т.е. 45,625%,

Т.е. 60,833%.

В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов.

Так, в банковской практике применяются простые и сложные проценты.

Простые проценты используются, прежде всего, при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. Как правило, в настоящее время преимущественно применяется изложенный выше способ. Сумма выплачиваемых процентов (I) за период d рассчитывается по формуле:

где P – сумма вклада (первоначальный долг);

i –размер процентов;

d – срок хранения вклада в днях;

k – количество дней в году.

Сумма вклада с процентами за хранение (S) рассчитывается по формуле:

Срок вклада в годах (n), срок вклада в днях (d) и годовая учетная ставка простых процентов (i) рассчитываются по формулам:

где S – наращенная с процентами сумма вклада;

Общий объем платежей заемщика с учетом основной суммы долга можно также рассчитать по следующей формуле:

где S – сумма выплат по кредиту с учетом первоначального долга;

Р– первоначальный долг;

i –ставка процентов;

n–продолжительность ссуды в годах, либо отношение периода пользования ссудой в днях к применяемой базе (360 или 365 дням).

Предположим, банк выпустил вексель на следующих условиях: вексельная сумма по номиналу 100 млн. руб. сроком на 3 месяца при условии уплаты 120% годовых. Сумма платежа в случае размещения векселя (стоимость покупки) составит:

Особую важность в условиях высокого уровня инфляции приобретает определение реального дохода от депозитных (кредитных) вложений. Сумма вклада с процентами, пересчитанная с учетом инфляции (P t) рассчитывается по формуле:

;

где t r – уровень инфляции за срок хранения.

Уровень инфляции за срок хранения t r рассчитывается следующим образом:

где mn – количество месяцев в сроке хранения;

t m – месячный уровень инфляции.

Например, при условии, что размер вклада составил 100 тыс. руб. на срок 6 месяцев под 40 % годовых номинальный доход вкладчика составит:

Однако, при условии, что среднемесячный уровень инфляции за период хранения составит 5 %, то сумма реального дохода (пересчитанная с учетом инфляции), который получит вкладчик составит:

Таким образом, через полгода вкладчик получит 120 тыс. руб., покупательная способность которых составит 89750 руб.

В банковской практике возможно использование сложного процента, как правило, при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга. При использовании этого метода размер начисленных средств включается в задолженность и на них продолжает начисляться процент (т.е. проценты начисляются на проценты). Формулу для начисления сложных процентов и определения общей суммы задолженности можно представить в виде:

Наращенная сумма вклада с процентами рассчитывается по следующей формуле:

где S – наращенная сумма вклада с процентами;

n – срок хранения вклада в годах;

m – количество периодов начисления в году;

mn – количество периодов начисления за срок хранения.

Сумма начисленных процентов рассчитывается по формуле:

Рассмотрим условный пример.

Допустим, вкладчик планирует положить в банк на депозит 200 тыс. руб. сроком на 10 месяцев. При этом предлагаются следующие условия хранения:

банк начисляет на вклады 70 % годовых по простой процентной ставке;

банк начисляет проценты на вклады ежемесячно по сложной ставке 60 % годовых (начисленные после первого периода начисления проценты не выплачиваются, а присоединяются к сумме вклада).

Рассчитаем наращенную сумму вклада с процентами по 2-м вариантам:

Таким образом, несмотря на то, что при начислении по простой процентной ставке проценты, начисляемые банком по вкладам, выше (70 % годовых), чем при начислении по сложной процентной ставке (60 % годовых), доход, получаемый вкладчиком при существующих условиях будет больше при использовании второго варианта хранения.

Такие же методы начисления процентов могут использоваться при кредитовании банком своих клиентов. При этом банк должен тщательно анализировать все моменты, которые могут в конечном итоге повлиять на прибыльность банковских операций. Например, необходимо учитывать характер инфляции и в этой связи определять, что целесообразней для банка: либо наращивать сумму долга посредством начисленных, но невостребованных процентов, либо получать ежегодную плату за кредит.

1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды; этот способ дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для расчета используется точное число дней ссуды, временная база равняется фактической продолжительности года. Например,

Р – сумма выданного кредита – 100000 руб.,

i – ставка процента – 9% годовых.

K – точное число дней ссуды,

S – наращенная сумма долга.

Тогда, S = 100000 x (1 + 0,09% x 260 дн.: 365 дн.) = 106411 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. В этом случае также как и в предыдущем, для расчета берется точное число дней ссуды, но временная база приравнивается к 360 дням. Если срок кредита превышает 360 дней, то сумма начисленных процентов будет больше, чем предусмотрено годовой ставкой (так, если период ссуды равен 364 дням, то 364:360 = 1,011). Рассмотрим данный способ на предложенном выше примере:

S 2 = 100000 x (1 + 0,09% x 260 дн.: 360 дн.) = 106499 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

В нашем примере приближенное число дней ссуды равно 257 дням (S 3), учитывая это:

S 3 = 10000 x (1 + 0,09% x 257 дн.: 360 дн.) = 106424 руб.

В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов. Например, смысл метода простых процентов заключается в том, что проценты начисляются все время на одну и ту же сумму - начальный долг (поэтому скорость начисления процентов постоянна). В отличие от этого, метод сложных процентов характеризуется фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заемщика возрастает в геометрической прогрессии: задолженность в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент. Метод простых процентов используется прежде всего при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный кредитным договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. При этом общий объем платежей заемщика с учетом основной суммы долга составит:

5= Р? (1 +« /),

где? - сумма выплат по кредиту с учетом первоначального долга; Р - первоначальный долг; п - срок пользования кредитом в днях к применяемой базе (360 или 365 дней); / - ставка процента.

Очень часто в банковской практике приходится производить операцию, обратную процедуре начисления процентов. Это имеет место, например, в случае обращения дисконтных векселей. Здесь при определении первоначального долга будет применяться следующая формула:

Р= 5: (1 + п /): 360.

Предположим, банк выпустил вексель на следующих условиях: вексельная сумма по номиналу 100 млн руб. сроком на три месяца при условии уплаты 12% годовых. Сумма платежа в случае размещения векселя составит:

Р = 100: (1 + 0,12 90) : 360 = 76,9 млн руб.

5= Р(-с1) : 360,

где с/ - учетная ставка по векселю.

Например, банк учитывает вексель за 20 дней досрочно до установленной даты погашения обязательства. При этом вексельная сумма составляет 100 млн руб., а учетная ставка - 13% годовых. В этом случае сумма, по которой вексель учитывается, составит:

Р = 100 (1 - 0,13-20): 360 = 93 млн руб.

В банковской практике возможно использование сложного процента, как правило, при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основную сумму долга. В российской банковской практике метод начисления сложных процентов получил наибольшее распространение по вкладам частных лиц.

Предположим, что вкладчик положил в банк сумму 50 под процентную ставку /". Тогда через год на его счету будет сумма 5(1) = = (1 + /)50. Если вкладчик решит не снимать деньги со счета, а снова их вложить с теми же условиями (реинвестировать), то уже через два года от даты совершения первого вклада на его счету будет сумма: 5(2) = (1 + /)51 = (1 + /)250. Продолжая в том же духе, за п лет вкладчик сможет получить сумму S(n) = (1 + /)л750.

Сумма вклада возрастает в геометрической прогрессии. Если обобщить этот пример, то можно сказать, что при использовании метода сложных процентов задолженность заемщика является показательной функцией от времени (показательная функция - это обобщение геометрической прогрессии): 5(0 = (1 + i)tS0.

Предположим, что вкладчик положил сумму 100 тыс. руб. все в тот же банк, предлагающий вклады под 10% годовых. Если банк использует метод сложных процентов для начисления процентов по вкладу, то через полгода на счету вкладчика будет сумма 5(12) = (1 +0,1) 12 100 000 = 104 881 руб. В этом и предыдущем примерах мы неявно полагали, что вклад на полгода имеет продолжительность 1/2 года. Если бы мы знали точные даты начала и окончания этой финансовой операции, то для получения правильного результата нам бы пришлось вычислять ее точную продолжительность в годах по методу «365/365».

Возможны различные варианты начисления процента: они определяются характером измерения количества дней пользования кредитом и продолжительностью года в днях (временной базы для расчета процентов). Так, число дней кредита может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продолжительности года (365 или 366 дней), либо приближенно к 369 дням. Соответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов.

1. Точные проценты с фактическим числом дней кредита. Этот вариант дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для расчета используется точное число дней кредита, временная база равняется фактической продолжительности года. Например, Р - сумма выданного кредита (100 000 руб.), / - ставка процента (9% годовых), Д - точное число дней кредита (260 дней). Наращенная сумма долга (5) составит: 5 = 100 000 (1 + 0,09% х х 260: 360) = 106 411 руб.
2. В этом случае, так же как и в предыдущем, для расчета берется точное число дней кредита, но временная база приравнивается к 360 дням. Если срок кредита превышает 360 дней, то сумма начисленных процентов будет больше, чем предусмотрено годовой ставкой (так, если период кредита равен 364 дням, то 364: 360 - 1,011). Рассмотрим данный способ на предложенном выше примере: 52 = 100 000 (1 + 0,09% 260: 360) = 106 499 руб.
3. Обыкновенные проценты с точным числом дней кредита. Здесь продолжительность кредита в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней кредита в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

В нашем примере приближенное число дней кредита равно 257 дням (53), учитывая это: 53 = 100 000 * (1 + 0,09% 257: 360) = = 106 424 руб.

Практика показывает, что второй вариант начисления процентов, а именно, обыкновенные проценты с точным числом дней кредита дает несколько больший результат относительно двух других вариантов, что необходимо иметь в виду кредитору при оформлении кредита (дополнительный алгоритм вычислений процентов приведен в Приложении 6 (?5).

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое процентная политика коммерческого банка?
2. Перечислите внешние факторы, влияющие на процентную политику.
3. Какие внутренние факторы влияют на процентную политику банка?
4. Какие процентные ставки учитывает коммерческий банк при формировании своей процентной политики?
5. Какие факторы влияют на процентные ставки по пассивным операциям коммерческого банка?
6. Какие факторы влияют на процентные ставки по активным операциям коммерческого банка?
7. Что такое фиксированная, плавающая процентная ставка?
8. Какие процентные ставки применяются в зарубежной банковской практике?
9. Какие межбанковские ставки применяются в российской банковской практике?
10. Что представляет собой базовая процентная ставка и как она определяется?
11. Что представляет собой процентная маржа и как она определяется?
12. Опишите метод расчета простых и сложных процентов.
13. Охарактеризуйте варианты начисления процентов.