Формула сложных процентов по вкладам. Расчет, рекомендации

Данная тема относится к и обязательна для изучения при инвестировании, построении капитала или просто для накопления необходимой суммы денег. В финансовой сфере принято отличать принцип расчета простых и сложных процентов. Например, в банковской сфере сложный процент понимается под понятием . А в инвестициях часто используют слово "реинвестирование".

Сложным процентом называют геометрическую прогрессию денежной суммы, при которой начисленные проценты прибыли прибавляются к базовой сумме, в следующем периоде базовая сумма увеличивается и процент начисляется уже на нее. За счет этого эффекта доходность получается выше, чем при простом проценте.

Капитализация или реинвестирование - это суммирование начисляемых процентов с базовой суммой в обозначенный период. В последующем периоде базовая сумма изменяется на эту величину процента, таким образом достигается прогрессивное или лавинообразное увеличение суммы средств. При подсчете по формуле простого процента, базовая сумма всегда остается неизменной.

Вся эта теория для неподготовленного читателя кажется через чур трудоемкой и запутанной. Но мы вас уверяем, ничего сверхсложного в формуле сложного процента и его отличия от простого нет. Сейчас разберем несколько задач и все встанет на свои места.

Примеры расчета простого и сложного процента

Формула простых и сложных процентов на малом периоде имеет незначительную разницу. Рассмотрим примеры.

Простой

Вы положили на обычный депозитный счет 1000 рублей под 10% годовых на 3 года. Через 3 года вы снимаете 1300 рублей. Так работает простой процент.

Сложный

Вы положили на депозитный счет 1000 рублей, но в характеристиках вклада указано "с ежегодной капитализацией процентов" . Те же - 10% годовых, срок тот же - 3 года. Через 3 года вы снимаете уже 1331 рубль. За счет эффекта сложного процента вы получили больше на 31 рубль, чем в первом случае.

Подробнее о сложном проценте

Простые проценты нам больше не интересны, а формула сложного выглядит так:

S - сумма, которую вы снимете в конце

B - базовая сумма

Pr - процентная ставка

n - временной период (может быть как в годах, так и в месяцах)

Давайте теперь посчитаем на суммах и процентах более приближенных к реальности, чтобы ощутить разницу в полной мере.

Задача №1

Дано:

• банковский депозит на сумму 100 тыс. руб.
• процентная ставка 8% годовых
• срок 4 года
• присутствует ежегодная капитализация процентов

Нужно найти:

В данном случае происходит ежегодная капитализация процента по вкладу. В некоторых банках также бывает услуга ежемесячной капитализации процентов. Об этом в задаче ниже.

Задача №2

Дано:

• банковский депозит на сумму 100 тыс руб.
• процентная ставка 8% годовых
• период 4 года
• ежемесячная капитализация

Нужно найти:

• конечную результирующую сумму (доход + %)

В формуле нужно применять ежемесячный процент, для этого 8 разделим на 12 месяцев. Получается 0,67% - это процент за месяц. И обратите внимание, степень теперь равна 48 - это количество месяцев за 4 года. Подставляем его в формулу:

Выводы

При ежемесячной капитализации результирующий доход вкладчика получился больше на 1736 рублей.

Чтобы сложный процент работал, не нужно снимать начисленные проценты, пусть они капитализируются на счете. Тогда вы получите больше выгоды от депозита.

Формула сложного процента на примере реального банковского вклада

Выше мы рассмотрели упрощенные примеры работы сложного процента. На самом деле банки используют немного усложненную формулу.

Ставка процентов представляется как

g - ставка в % годовых, разделенная на 100. Если 8% годовых, то получаем g =0,08
d - количество дней, через которое проценты капитализируются с базовой суммой
y - кол-во дней в году

Формула универсальная и позволяет сделать вычисление для разных типов депозитов. Таким образом, наша основная формула стала чуть-чуть сложнее:

Математическое понятие "геометрическая прогрессия" помогает работать банковскому вкладу с капитализацией гораздо более эффективно, чем без капитализации. Человеческий мозг не всегда может представить разницу или она поначалу ему кажется не существенной. В действительности, на значительных отрезках времени сложный процент начинает играть огромную роль при построении капитала.

Пример расчета сложного процента на большом отрезке времени

Возьмем одновременно 2 примера с простым и сложным процентами, чтобы разница была наглядной. В обоих вариантах начальная базовая сумма будет составлять 10 тыс. руб. на 20 лет под 10% годовых. В столбцах "сложный процент" сумма процентов каждый год будет прибавляться к базовой сумме.

Как мы видим при длительном отрезке капитализация процентов выглядит очень поразительным инструментом! И чем больше период вложений, тем более разительной становится разница. Но давайте рассмотрим еще более впечатляющий пример.

Как поможет сложный процент в построении капитала?

Самый впечатляющий пример работы сложного процента будет ниже.

Представьте, что базовая сумма у вас совсем мизерная - 1000 рублей. Но вы каждый месяц можете откладывать от зарплаты по 1000 рублей.

Теперь прикинем варианты, какие проценты дают доступные средства сохранения и инвестирования денег в год:

• 5% - государственные облигации, так называемые облигации федерального займа. Это упрощенно, на самом деле суммы может быть побольше.
• 10% - самый щедрый банковский вклад
• 15% - смешанный инвестиционный портфель акций и облигаций
• 20% - такой процент годовых может дать портфель из акций фондовой биржи.

Давайте не будем больше приводить формулы, так как мы уже все подробно рассказали. Теперь просто возьмем итоговые цифры, которые поражают воображение неподготовленного человека.

Как мы видим результаты впечатляющие, суммы растут как снежный ком. Вы все можете проверить по калькулятору или экселю, здесь нет обмана. Вы действительно можете стать миллионером, откладывая всего по 1000 рублей в месяц.

А что если вы сможете откладывать по 10000 рублей? Теперь подрисуйте в таблице везде по нолику и еще раз удивитесь результатам.

Вы можете возразить, что действительно интересные суммы появляются только при 20% годовых. А вкладывать в акции вы, мол, не умеете. В действительности, это не такое сложное занятие.. Есть очень простые стратегии инвестирования в акции. Вам не понадобится думать, как выбирать акции и каждый день или неделю продавать их или покупать. Тут все почти как с банковским вкладом. Вы просто откладываете деньги покупаете на них каждый месяц одни и те же акции или паи фонда. Это краткая суть стратегии.

Почему в акции инвестировать безопасно? Почему акции непременно будут расти на 20% годовых? Подробная информация о стратегии и ответы на эти вопросы вы получите на нашем вебинаре об , а точнее записи этого вебинара.

Вспомогательные формулы

Привожу еще пару вспомогательных формул, которые могут пригодиться при составлении личного финансового плана. Они выражаются из уже написанных выше. Рассмотрим все на примерах задач.

Задача №1

Дано:

• у вас есть 60 тыс. рублей
• вы хотите приумножить их до 250 тыс. рублей
• у вас есть срок 15 лет

Найти:

• под какую процентную ставку нужно вложить деньги?

Расчет:

Ответ равен 10,03 процентам

Задача №2

Дано:

• у вас есть 50 тыс. рублей
• вы хотите приумножить их до 1 млн. рублей
• вы уверены, что сможете вложить их под 40% годовых

Найти:

• сколько потребуется для этого времени в годах?

Расчет:

Ответ: 8,9 лет.

Заключение

Описанная формула простых и сложных процентов построения капитала активно используется во всем мире, будь то обычное накопление или инвестирование. Профессиональные финансовые советники и богатейшие люди мира одинаково хорошо отзываются и рекомендуют прибегать к сложным процентам для улучшения своего финансового положения.

Как мы увидели, не обязательно иметь крупную сумму в самом начале, главное регулярно откладывать деньги и пользоваться хорошим процентом.

И расчет параметров этой сделки.

Курс финансовой математики состоит из двух разделов: разовые платежи и потоки платежей. Разовые платежи — это финансовые сделки, при которых каждая сторона, при реализации условий контракта выплачивает сумму денег только один раз (либо дает в долг, либо отдает долг). Потоки платежей — это финансовые сделки, при которых каждая сторона при реализации условий контракта производит не менее одного платежа.

В финансовой сделке участвуют две стороны — кредитор и заемщик. Каждой стороной может быть как банк, так и клиент. Основная финансовая сделка — предоставление некоторой суммы денег в долг. Деньги не равносильны относительно времени. Современные деньги, как правило, ценнее будущих. Ценность денег во времени отражается в величине начисляемых процентных денег и схеме их начисления и выплаты.

Математическим аппаратом для решения таких задач является понятие "процентов" и и .

Проценты — основные понятия

Процент — одна сотая от заранее оговоренной базы (то есть база соответствует 100%).

Примеры:

Ответ: больше на

	первоначальная сумма долга
(дни)	фиксированный промежуток времени, к которому приурочена процентная (учетная) ставка (как правило, один год — 365, иногда 360 дней)
	процентная (учетная) ставка за период
	срок долга в днях
	срок долга в долях от периода
	сумма долга в конце срока

Процентная ставка

Процентная ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Отношение дохода (процентных денег — абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.

Период начисления — это временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, его не следует путать со сроком начиления. Обычно в качестве такого периода принимаю год, полугодие, квартал, месяц, но чаще всего дело имеют с годовыми ставками.

Капитализация процентов — присоединение процентов к основной сумме долга.

Наращение — процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов.

Дисконтирование — обратно наращению, при котором сумма денег, относящаяся к будущему уменьшается на величину соответствующую дисконту (скидке).

Величина называется множителем наращения, а величина — множителем дисконтирования при соответствующих схемах.

Интерпретация процентной ставки

При схеме "простых процентов " исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения процентной ставки является первоначальная сумма долга .

При схеме "сложных процентов " (для целых ) исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения процентной ставки является наращенная за предыдущий период сумма долга.

Присоединение начисленных процентных денег к сумме, которая служит базой для их вычисления, называется капитализацией процентов (или реинвестированием вклада). При применении схемы "сложных процентов" капитализация процентов происходит на каждом периоде .

Интерпретация учетной ставки

При схеме "простых процентов" (простой дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма , подлежащая выплате в конце срока вклада.

При схеме "сложных процентов" (для целых ) (сложный дисконт ) — исходной базой для начисления процентов в течение всего срока на каждом периоде применения учетной ставки является сумма долга в конце каждого периода.

Простая и сложная процентные ставки

"Прямые" формулы

	Простые проценты	Сложные проценты
— процентная ставка			наращение
— процентная ставка			дисконтирование (банковский учет)

"Обратные" формулы

	Простые проценты	Сложные проценты
— процентная ставка			дисконтирование (математический учет)
— процентная ставка			наращение

Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов

Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,

— при схеме простых процентов

1 . В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.

Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель

Важным выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в . Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.

Очень часто в экономической литературе пользуются термином "процентная ставка", хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.

Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием : если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином "процентная ставка"

Различают номинальные и реальные процентные ставки

Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня . Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:

Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).

Способы начисления процентов:

Простая процентная ставка

График роста по простым процентам

Пример

Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых, ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.

• I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
• S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.

Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления

Временная база может быть равна:

• 360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты .
• 365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов .

Число дней ссуды

• Точное число дней ссуды — определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
• Приближенное число дней ссуды — определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

• Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
• Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
• Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.

Пример

Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.

Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября — 278 день в году. 278 — 20 = 258. При приближенном подсчете — 255. 30 января — 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)

• S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)

• S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)

• S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.

Переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом.

Формулы простых и сложных процентов

Основной задачей кредитных учреждений является привлечение средств с целью их концентрации и перераспределения в виде кредитов или финансовых ресурсов. Кредитные учреждения привлекают средства (депозиты) юридических и физических лиц с целью их дальнейшего размещения в виде кредитов за определенную плату. При этом плата за привлеченные ресурсы несколько ниже платы за размещенные. Плата за ресурсы устанавливается в процентах. Проценты по депозитам ниже, чем проценты по кредитам. Разница между процентной ставкой по кредитам и процентной ставкой по депозитам называется маржей. Маржа служит источником дохода кредитного учреждения.

Процентная ставка банка чрезвычайно важна как с позиций привлечения ресурсов, так и с позиций их размещения, поэтому регулирование процентной ставки осуществляется государством посредством установки учетной ставки центрального банка.

Основная цель инвестиций в кредитные институты состоит в получении процентного дохода (процентов). Процентный доход определяется на основе процентной ставки. Процентная ставка в финансовой практике устанавливается на год. В отдельных случаях ставка может быть установлена на более другой период.

На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты.

При применении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы инвестиций не зависимо от срока вложения.

При применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется во вклад (реинвестируется, капитализируется) по окончании очередного периода начислений.

Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются наращенной суммой.

Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:

Таблица 1. Наращенная сумма с использованием простых и сложных процентов.

Если обозначить:

 - процентная ставка;

S i – накопленная сумма к концу i-го года,

Тогда для простых процентов сумма по годам равна соответственно

S nt = (1 + n *  ) S 0 (1)

Для сложных процентов

S nt = (1 +  ) n S 0 (2)

Пример 1.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму если проценты:

а) простые

б) сложные.

Решение 1.

По формуле простых процентов

Sn=(1+3*0.12)*50 000 = 68000 руб.

По формуле сложных процентов

Sn=(1+0.12) 3 *50 000 = 70246 руб.

В банковской практике проценты могут начисляться чаще, чем 1 раз в год. При этом банковская ставка обычно устанавливается в пересчете на год. Формула сложных процентов будет иметь вид:

S nt = (1 +  / t ) n * t S 0 (3)

где t – число реинвестиций процентов в году.

Пример 2.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму, если проценты начисляются ежеквартально.

Решение 2.

По формуле сложных процентов

Sn = (1+0.12/4) 3*4 *50 000 = 1.03 12 *50 000 = 71288 руб.

Как следует из примеров 1 и 2, наращенная сумма будет возрастать тем быстрее, чем чаще начисляются проценты. Существует предел

где е – основание натурального логарифма.

Известно, что при малом значении α справедливо примерное равенство:

Отсюда следует, что при малых значениях n и α можно для расчетов применять формулу простых процентов. На практике все расчеты по депозитам и кредитам сроком менее года осуществляются по формуле простых процентов. Наращенная сумма за короткий период определяется по формуле:

(4)

Где nд – число дней депозита, 360 – число дней в году.

Эффективная ставка

Из вышесказанного следует, что при разных условиях начисления процентов вклады с одинаковыми процентными ставками позволяют получить разный доход. Отсюда вытекает проблема эквивалентных ставок. Ставки позволяющие получить одинаковый доход при разных условиях начисления процентов называются эквивалентными. Условие эквивалентности можно выразить уравнением

где α 1 и t 1 - процентная ставка и число реинвестиций в году по первому варианту, α 2 и t 2 - процентная ставка и число реинвестиций в году по второму варианту.

Если один из вариантов предполагает начисление 1 раз в году, то условие эквивалентности примет вид

Ставка, эквивалентная ставке с начислением процентов в конце года называется эффективной. Эффективная ставка выше номинальной. Эффективная ставка рассчитывается по формуле:

(5)

где α н – номинальная ставка, t – число реинвестиций в году.

Пример 3.

Банк предлагает два варианта депозита

1) под 120% с начислением процентов в конце года

2) под 100% с начислением процентов в конце каждого квартала.

Определить более выгодный вариант размещения депозитов на один год.

Более выгодным считается тот вариант, при котором наращенная за год сумма будет больше. Для оценки вариантов начальную сумму примем равную 100 руб.

По первому варианту наращенная сумма будет равна

(1+1,2)*100 руб. = 220 руб.

По второму варианту проценты начисляются ежеквартально. По окончании первого квартала наращенная сумма равна

(1+1,0/4)*100 руб. = 125 руб.

По окончании 2-го квартала

(1+1,0/4)*125 руб. = 156 руб. или (1+1,0/4) 2 *100 руб. = 156 руб.

За год наращенная сумма равна:

(1+1,0/4) 4 *100 руб. = 244 руб.

Как следует из расчетов второй вариант значительно выгоднее (244>220). Правда, только при условии применения сложных процентов. Однако, если по условия вклада проценты начисляются ежеквартально, то их можно "превратить" в сложные самостоятельно осуществив депозит в банк.

В банке появился новый вид вкладов с ежемесячным начислением процентов по ставке 12% в месяц с минимальной суммой вклада 300 руб. Проценты на проценты не начислялись, однако многие граждане превращали данный вклад во вклад со сложными процентами. Для этого достаточно было раз в месяц приходить в банк, снимать проценты и осуществлять новый вклад.

Эффективная ставка рассчитывается по формуле:

Это значит, что наращенная сумма будет одинакова по вкладам сроком 1 год под 144% и по вкладу сроком 1 год, при ставке 100% при условии ежеквартального начисления процентов.

Пример 4.

Банк принимает депозиты по ставке 50% с начислением процентов ежеквартально. Определить эффективную ставку.

Пример 5.

Процентная ставка 50% с начислением процентов в конце срока. Рассчитать эквивалентную ставку с начислением процентов раз в 6 месяцев.

Решить данную задачу можно двумя способами

1) на основе формулы эквивалентности

2) используя формулу эффективной ставки.

Оценка потока платежей

В практике финансовых расчетов применяется понятие настоящая стоимость будущих платежей. Поток платежей может быть равномерным или неравномерным. Равномерный поток называется финансовой рентой или аннуитетом. В задачу оценки потока платежей входит определение его текущей стоимости. Текущая оценка осуществляется на основе сравнения будущих платежей с вкладом в банк. Цена ренты представляет собой сумму, которую необходимо вложить в банк под определенный процент, чтобы обеспечить те же платежи и в те же сроки, которые обеспечивает рента.

Эта задача обратная определению наращенной стоимости. Так, если в качестве примера ренты принять бескупонную облигацию номиналом Н и сроком до погашения n лет, то ее расчетная цена может быть определена по формуле

,

Для потока платежей с неравными выплатами текущая стоимость выплат равна:

Например:

У гражданина двое детей в возрасте 10 и 15 лет. Он желает каждому выплатить к 18-летию по 20 тыс. руб. Сколько необходимо вложить в банк, чтобы обеспечить данные выплаты, если банк выплачивает 10% годовых.

Время до 1-й выплаты 3 года, до 2-й – 8 лет. Начальная сумма вклада равна:

Решение задач №1- 12 производим с помощью Excel.

Выгода банковского вклада оценивается не только по процентной ставке. Большое влияние на доходность депозита оказывает способ начисления процентов. В финансовой сфере существует понятие простого и сложного процента. Когда применяется тот или иной метод расчета? Как осуществляется начисление процентов по каждому способу? И какой метод выгоднее для вкладчика?

Понятие простых процентов и как они рассчитываются

Простые проценты – это проценты,начисляющиеся лишь на первоначальную величину вклада, независимо от количества периодов и их продолжительности. Они считаются один раз по окончанию срока депозита. Это обозначает, что сумма процентов за предыдущий период не учитывается при расчете в следующем.

Метод расчета простых процентов основан на принципе наращения денег по арифметической прогрессии. Допустим, инвестор в начале года положил в банк на сумму 100 000 руб. под 10% годовых:

• через год он получит сумму, равную первоначально внесенным деньгам плюс начисленные проценты: 100 000 + 10 000 (чтобы высчитать процент нужно сумму вклада умножить на ставку и разделить на 100) = 110 000 (руб.);
• через 2 года сумма составит: 100 000 + (10 000 х 2) = 120 000 (руб.);
• через N лет вкладчик получит: 100 000 + (10 000 х N).

Поскольку банки указывают ставку за год, то чтобы определить доход за другой период (к примеру, 3 месяца), применяя простую ставку процентов, формула будет такой:

S = (P x I x Т / K) / 100, где:

S – сумма насчитанных процентов (руб.);

P – начальная сумма вложенных средств;

I – процентная ставка за год;

Т – срок действия вклада в днях;

K – число дней в году.

То есть при вкладе 100 000 руб. на 3 месяца под 10% годовыхвычисление простых процентовбудет выполняться так:

(100 000 х 10 х 92 / 365) / 100 = 2520,55 (руб.).

Получается, что в конце срока вкладчик получит на руки внесенные 100 000 руб. плюс 2520,55 руб. дохода, т.е. 102 520,55 руб.

Чтобы более наглядно продемонстрировать разницу по использованию простой схемы начисления процентов и сложной, данные занесены в таблицу:

При подсчете коэффициентов использовалась ежегодная капитализация процентов. Из таблицы видно, что:

• если срок вклада меньше года, то множитель, рассчитанный по формуле простых процентов, получается больше. Это даст возможность вкладчику получить больший доход, чем при использовании сложных процентов;
• когда период вклада составляет 1 год – величина коэффициентов сравнивается и является одинаковой. Это говорит о том, что доход с ежегодной капитализацией при начислении по простым процентам и сложным будет равный;
• если срок депозита более года, то коэффициент наращения по сложным процентам выше, чем при использовании обыкновенного простого процента.

Составив аналогичную таблицу с учетом проведения ежеквартальной капитализации, можно увидеть, что доход будет одинаков при вкладе на квартал. При более коротких депозитах (на месяц или два) больший доход будет получаться по простым процентам. При вкладах на срок более квартала, наоборот, выгоднее будут сложные проценты.

Этот принцип определения доходности вклада зависимо от метода вычисления процентов сохраняется и при расчетах на месяц. Подведя итог, можно сказать, что применение сложного процента выгодно, если период вклада превышает период капитализации. Иначе говоря:

• при ежегодной капитализации оформление депозита выгодно, если срок его действия больше года;
• с применением ежеквартальной капитализации сложные проценты будут выгодными только тогда, когда срок действия депозита больше 3 месяцев;

Если срок депозита меньше, чем периодичность проведения капитализации, то расчет простых процентов по вкладам получится выгоднее.

• При заключении договора помните, что банками в документах не практикуется выражение «простые» или «сложные» проценты. В договоре зачастую пишется фраза «проценты насчитываются в конце срока». А при использовании капитализации указывается, что проценты высчитываются раз в год, квартал или месяц.
• При оформлении вклада на длительный срок может возникнуть необходимость досрочного снятия денег по той или иной причине. Вклады с возможностью досрочного снятия всегда имеют более низкую ставку. В подобных случаях выигрышным может оказаться краткосрочный вклад с возможной пролонгацией и использованием сложного процента. Доход по такому вкладу может получиться больше, даже если процентная ставка по такому депозиту немного ниже.
• Быстро и точно высчитать доходность вклада можно посредством онлайн-калькулятора. Для этого после введения необходимых данных нужно поставить галочку в окне «капитализация» и выбрать период ее проведения (год, квартал или месяц).

От простого к сложному...

Для чего человек несет свои сбережения в банк? Конечно же, чтобы обеспечить их сохранность, и самое главное - получить доходы. И вот здесь знание формулы простых или сложных процентов, а также умение составить предварительный расчет процентов по депозиту как никогда пригодится. Ведь прогнозирование процентов по вкладам или процентов по кредитам относится к одной из составляющих разумного управления своими финансами. Такое прогнозирование хорошо осуществлять до подписания договоров и совершения финансовых операций, а также в периоды очередного начисления процентов и причисления их к вкладу по уже оформленному депозитному договору.

Для начисления процентов по вкладам (депозитам), да и кредитам тоже, применяются следующие формулы:

1. формула простых процентов ,


2. формула сложных процентов .

Порядок начисления процентов по вышеперечисленным формулам осуществляется с использованием фиксированной или плавающей ставки. Чтобы не возвращаться к данному вопросу в дальнейшем, сразу поясню значение слов и отличия фиксированной ставки и плавающей ставки.

Фиксированная ставка, это когда установленная по вкладу банка процентная ставка, закреплена в депозитном договоре и остается неизменной весь срок вложения средств, т.е. фиксируется. Такая ставка может измениться только в момент автоматической пролонгации договора на новый срок или при досрочном расторжении договорных отношений и выплате процентов за фактический срок вложения по ставке «до востребования», что оговаривается условиями.

Плавающая ставка, это когда первоначально установленная по договору процентная ставка может меняться в течение всего срока вложения. Условия и порядок изменения ставок оговариваются в депозитном договоре. Процентные ставки могут изменяться: в связи с изменениями ставки рефинансирования, с изменением курса валюты, с переходом суммы вклада в другую категорию, и другими факторами.

Для начисления процентов с применением формул, необходимо знать параметры вложения средств на депозитный счет, а именно:

• сумму вклада (депозита),
• процентную ставку по выбранному вкладу (депозиту),
• цикличность начисления процентов (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и т.д.),
• срок размещения вклада (депозита),
• иногда требуется и вид используемой процентной ставки - фиксированной или плавающей.

Теперь давайте рассмотрим названные выше стандартные формулы процентов, которые применяются для расчета процентов по вкладам (депозитам).

Формула простых процентов

Формула простых процентов применяется, если начисляемые на вклад проценты причисляются к вкладу только в конце срока депозита или вообще не причисляются, а переводятся на отдельный счет, т.е. расчет простых процентов не предусматривает капитализации процентов.

При выборе вида вклада, на порядок начисления процентов стоит обращать внимание. Когда сумма вклада и срок размещения значительные, а банком применяется формула простых процентов, это приводит к занижению суммы процентного дохода вкладчика. Формула простых процентов по вкладам выглядит так:

Формула простых процентов

Значение символов:
S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты.
I – годовая процентная ставка

P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств

Формула суммы простых процентов

Значение символов:
Sp – сумма процентов (доходов).
I – годовая процентная ставка
t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу
K – количество дней в календарном году (365 или 366)
P – сумма привлеченных в депозит денежных средств.

Приведу условные примеры расчета простых процентов и суммы банковского депозита с простыми процентами:

Пример 1. Предположим, что банком принят депозит в сумме 50000 рублей на срок 30 дней. Фиксированная процентная ставка - 10,5 % «годовых». Применяя формулы, получаем следующие результаты:

S = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50431,51

Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51

Пример 2. Банком принят депозит в той же сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней) по фиксированной ставке 10,5 процентов «годовых». В условиях поменялся только срок вложения.

S = 50000 + 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 51294,52

Sp = 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 1294,52

При сравнении двух примеров видно, что сумма ежемесячно начисленных процентов по формуле простых процентов не меняется.

431,51 * 3 месяца = 1294,52 рубля.

Пример 3. Банком принят депозит в сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней) по фиксированной ставке 10,5 процентов «годовых». Вклад пополняемый, и на 61 день произведено пополнение вклада в сумме 10000 рублей.

S1 =50000 + 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 50863.01
Sp1 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 863.01

S2 = 60000 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 60517.81
Sp2 = 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 517.81

Sp = Sp1 + Sp2 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 863,01 + 517,81 = 1380,82

Пример 4. Банком принят депозит в той же сумме 50000 рублей сроком на 3 месяца (90 дней), по плавающей ставке. На первый месяц (30 дней) процентная ставка - 10,5 %, на последующие 2 месяца (60 дней) процентная ставка – 12 %.

S1 = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50000 + 431,51 = 50431.51
Sp1 = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51

S2 = 50000 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 50000 + 986,3 = 50986.3
Sp2 = 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 986,3

Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 431,51 + 986,3 = 1417,81

Формула сложных процентов

Формула сложных процентов применяется, если начисление процентов по вкладу, осуществляется через равные промежутки времени (ежедневно, ежемесячно, ежеквартально) а начисленные проценты причисляются к вкладу, т. е. расчет сложных процентов предусматривает капитализацию процентов (начисление процентов на проценты).

Большинство банков, предлагают вклады с поквартальной капитализацией (Сбербанк России, ВТБ и т. д.), т.е. с начислением сложных процентов. А некоторые банки, в условиях по вкладам предлагают капитализацию по окончанию срока вложения, т.е. когда вклад пролонгируется на следующий срок, что, мягко говоря, относится к рекламному трюку, который подталкивает вкладчика не забирать начисляемые проценты, но само начисление процентов фактически осуществляется по формуле простых процентов. И повторюсь, когда сумма вклада и срок размещения значительные, такая «капитализация» не приводит к увеличению суммы процентного дохода вкладчика, ведь начисления процентов на полученные в предыдущих периодах процентные доходы нет.
Формула сложных процентов выглядит так:

Формула сложных процентов

Значение символов:




S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из суммы вклада (депозита) с процентами.

Расчет только сложных процентов с помощью формулы, будет выглядеть так:

Расчет только сложных процентов

Значение символов:
I – годовая процентная ставка;
j – количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов;
K – количество дней в календарном году (365 или 366);
P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств;
n - количество операций по капитализации начисленных процентов в течение общего срока привлечения денежных средств;
Sp – сумма процентов (доходов).

Приведу условный пример расчета сложных процентов и суммы банковского депозита со сложными процентами:

Пример 5. Принят депозит в сумме 50 тыс. руб. сроком на 90 дней по фиксированной ставке 10,5 процентов годовых. Начисление процентов – ежемесячно. Следовательно, количество операций по капитализации начисленных процентов (п) в течение 90 дней составит – 3. А количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов (j) составит – 30 дней (90/3). Какова будет сумма процентов?

S = 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100)3 = 51305,72
Sp = 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100)3 - 50000 = 1305,72
Убедиться в правильности суммы процентов, рассчитанный по методу сложных процентов можно, перепроверив расчет с помощью формулы простых процентов.

Для этого разобьем срок депозита на 3 самостоятельных периода(3 месяца) по 30 дней и рассчитаем проценты для каждого периода, использую формулу простых процентов. Сумму депозита в каждом следующем периоде будем брать с учетом процентов за предыдущие периоды. В результате расчета получилось:

Итак, общая сумма процентов с учетом ежемесячной капитализации (начисления процентов на проценты) составляет:

Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 431,51 + 435,23+ 438,98 = 1305,72
Это соответствует сумме, рассчитанной по сложным процентам в примере № 5.
А при расчете процентов за этот же период по формуле простых процентов в примере №2, доход составил только 1294,52 руб. Капитализация процентов принесла вкладчику дополнительно 11,2 руб. (1305,72 – 1294,52), т.е. большая доходность получается у вкладов с капитализацией процентов, когда применяются сложные проценты.

При начислении процентов необходимо учитывать и еще один маленький нюанс. При определении количества дней начисления процентов по вкладу (t) или количества календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов (j), не учитывается день закрытия (снятия) вклада. Так, например, 02.11.07 банк принял депозит сроком на 7 дней. Полный срок депозита с 02.11.07 по 09.11.07, т.е. 8 календарных дней. А период начисления процентов по депозиту будет с 02.11.07 по 08.11.07, т.е. – 7 календарных дней. День 09.11.07 в расчет не принимается т.к. депозит возвращен клиенту.

Заканчивая материал, хочу еще раз обратить ваше внимание на то, что по приведенным формулам процентов можно производить и расчеты процентов по кредитам. Удачного вам подсчета своих доходов и расходов.