Как вычисляется сумма. Вычисление суммы ряда онлайн
Поскольку точное значение суммы ряда удается вычислить далеко не всегда (такие задачи были нами рассмотрены), возникает проблема приближенного вычисления суммы ряда с заданной точностью.
Напомним, что
-ый
остаток ряда
получается из исходного ряда
отбрасыванием первых
слагаемых:
Тогда, поскольку для сходящегося ряда
,
остаток сходящегося ряда равен разности
между суммой ряда и
-ой
частичной суммой:
,
и для достаточно больших
имеем
приближенное равенство
.
Из определения остатка ряда следует,
что абсолютная погрешность при замене
точного неизвестного значения суммы
его частичной суммой
равна модулю остатка ряда:
.
Таким образом, если требуется вычислить
сумму ряда с заданной точностью
,
то нужно оставить сумму такого числа
слагаемых, чтобы для отброшенного
остатка ряда выполнялось неравенство:
.
Метод приближенного вычисления суммы выбирается в зависимости от вида ряда:
если ряд положительный и может быть исследован на сходимость по интегральному признаку (удовлетворяет условиям соответствующей теоремы), то для оценки суммы используем формулу
;
если это ряд Лейбница, то применяем оценку:
.
В других задачах можно использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Задача №1.
Сколько нужно взять
слагаемых ряда
,
чтобы получить его сумму с точностью
0,01.
Решение.
Прежде всего отметим, что
данный ряд сходится. Рассмотрим
-ый
остаток ряда, который и является
погрешностью вычислений суммы ряда:
Оценим этот ряд с помощью бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
Для этого заменим в каждом слагаемом
множитель
на
,
при этом каждое слагаемое увеличится:
После вынесения общего множителя за скобку, в скобке остался ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумму которого мы и вычислили по формуле
.
Заданная точность будет достигнута,
если
будет удовлетворять условию
.
Решим неравенство, учитывая, что
-
целое.
При
имеем
.
При
имеем
.
В силу монотонности функции
,
неравенство
будет выполняться для всех
.
Следовательно, если вместо точного значения суммы мы возьмем первые пять (или более) слагаемых, то погрешность вычислений не превысит 0,01.
Ответ:
.
Задача №2.
Оценить ошибку, получаемую
при замене суммы ряда
суммой
первых 100 слагаемых.
Решение.
Заметим, что данный ряд
является сходящимся и знакопеременным.
Оценивать будем ряд
,
состоящий из модулей исходного ряда,
что сразу увеличивает погрешность
вычислений. Кроме того, нам придется
перейти (используя признак сравнения)
к большему, более простому сходящемуся
ряду:
.
Рассмотрим ряд
.
Поскольку этот ряд удовлетворяет
условиям теоремы – интегрального
признака сходимости, то для оценки
погрешности вычисления суммы используем
соответствующую формулу:
.
Вычислим несобственный интеграл:
погрешность вычислений можно оценить по формуле
,
по условию
,
тогда.
Ответ:
.
Задача №3.
Оценить ошибку,
получаемую при замене суммы ряда
суммой
первых 10 слагаемых.
Решение. Подчеркнем еще раз, что задача о приближенном вычислении суммы имеет смысл только для сходящегося ряда, поэтому, прежде всего отметим, что данный ряд сходится. Поскольку исследуемый ряд является знакопеременным со сложным правилом изменения знака, то оценивать придется, как и в предыдущем примере, ряд из модулей данного ряда:
.
Используя тот факт, что
при любом значении аргумента, имеем:
.
Оценим остаток ряда:
.
Мы получили ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой
,
его сумма равна:
,
.
Ответ:
.
Задача №4.
Вычислить сумму ряда
с
точностью 0,01.
Решение. Данный ряд является рядом Лейбница. Для оценки погрешности верна формула:
,
другими словами, погрешность вычислений
меньше модуля первого отброшенного
слагаемого. Подберем номер
так, чтобы
.
При
имеем
.
При
имеем
.
Погрешность
,
если в качестве значения суммы возьмем
сумму первых четырех слагаемых:
Ответ:
.
Вычислить сумму ряда можно только в случае, когда ряд сходится. Если ряд расходится то сумма ряда бесконечна и нет смысла что-то вычислять. Ниже приведены примеры из практики нахождения суммы ряда, которые задавали в Львовском национальном университете имени Ивана Франка. Задания на ряды подобраны так, что условие сходимости выполняется всегда, однако проверку на сходимость мы выполнять будем. Эта и следующие за ней статьи составляют решение контрольной работы по анализе рядов.
Пример 1.4
Вычислить сумму рядов:
а)
Вычисления:
Поскольку граница общего члена ряда при номере следующему до бесконечности равна 0 
то данный ряд сходится. Вычислим сумму ряда. Для этого преобразуем общий член, разложив его на простейшие дроби I и II типа. Методика разложения на простые дроби здесь приводиться не будет (хорошо расписана при интегрировании дробей), а лишь запишем конечный вид разложения 
В соответствии с этим можем сумму расписать через сумму ряда образованного из простейших дробей, а дальше из разницы сумм рядов
Далее расписываем каждый ряд в явную сумму и выделяем слагаемые (подчеркивание), которые превратятся 0 после сложения. Таким образом сумма ряда упростится к сумме 3 слагаемых (обозначены черным), что в результате даст 33/40.
На этом базируется вся практическая часть нахождения суммы для простых рядов.
Примеры на сложные ряды сводятся к сумме бесконечно убывающих прогрессий и рядов, которые находят через соответствующие формулы, но здесь такие примеры рассматривать не будем.
б) 
Вычисления:
Находим границу n-го
члена суммы
Она равна нулю, следовательно заданный ряд сходится и имеет смысл искать его сумму. Если граница отличная от нуля, то сумма ряда равна бесконечности со знаком "плюс" или "минус".
Найдем сумму ряда. Для этого общий член ряда который является дробью превратим методом неопределенных коэффициентов к сумме простых дробей I типа 
Далее по инструкции которая приводилась ранее записываем сумму ряда через соответствующие суммы простейших дробей
Расписываем суммы и выделяем слагаемые, которые станут равными 0 при суммировании.
В результате получим сумму нескольких слагаемых (выделенные черным) которая равна 17/6
.
Пример 1.9
Найти сумму ряда:
а)
Вычисления:
Вычислениям границы
убеждаемся что данный ряд сходится и можно находить сумму. Далее знаменатель функции от номера n
раскладываем на простые множители, а весь дробь превращаем к сумме простых дробей I типа 
Далее сумму ряда в соответствии с расписанием записываем через два простые
Ряды записываем в явном виде и выделяем слагаемые, которые после добавления дадут в сумме ноль. Остальные слагаемые (выделенные черным) и представляет собой конечную сумму ряда 
Таким образом, чтобы найти сумму ряда надо на практике свести под общий знаменатель 3 простых дроби.
б) 
Вычисления:
Граница члена ряда при больших значениях номера стремится к нулю
Из этого следует что ряд сходится, а его сумма конечна. Найдем сумму ряда, для этого сначала методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда на три простейшего типа 
Соответственно и сумму ряда можно превратить в сумму трех простых рядов
Далее ищем слагаемые во всех трех суммах, которые после суммирования превратятся в ноль. В рядах, содержащих три простых дроби один из них при суммировании становится равным нулю (выделен красным). Это служит своеобразной подсказкой в вычислениях 
Сумма ряда равна сумме 3 слагаемых и равна единице.
Пример 1.15
Вычислить сумму ряда:
а) 
Вычисления:
При общем член ряда стремящемся к нулю
данный ряд сходится. Преобразуем общий член таким образом, чтобы иметь сумму простейших дробей 
Далее заданный ряд, согласно формулам расписания, записываем через сумму двух рядов 
После записи в явном виде большинство членов ряда в результате суммирования станут равны нулю. Останется вычислить сумму трех слагаемых. 
Сумма числового ряда равна -1/30
.
б) 
Вычисления:
Поскольку граница общего члена ряда равна нулю,
то ряд сходится. Для нахождения суммы ряда разложим общий член на дроби простейшего типа. 
При разложении использовали метод неопределенных коэффициентов. Записываем сумму ряда из найденного расписание 
Следующим шагом выделяем слагаемые, не вносящие никакого вклада в конечную сумму и остальные оставшиеся 
Сумма ряда равна 4,5
.
Пример 1.25
Вычислить сумму рядов:
а) 
Поскольку она равна нулю то ряд сходится. Можем найти сумму ряда. Для этого по схеме предыдущих примеров раскладываем общий член ряда через простейшие дроби 
Это позволяет записать ряд через сумму простых рядов и, выделив в нем слагаемые, упростив при этом суммирование. 
В этом случае останется одно слагаемое которое равен единице.
б)
Вычисления:
Находим границу общего члена ряда
и убеждаемся что ряд сходится. Далее общий член числового ряда методом неопределенных коэффициентов раскладываем на дроби простейшего типа. 
Через такие же дроби расписываем сумму ряда
Записываем ряды в явном виде и упрощаем к сумме 3 слагаемых
Сумма ряда равна 1/4.
На этом ознакомление со схемами суммирования рядов завершено. Здесь еще не рассмотрены ряды, которые сводятся к сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, содержащие факториалы, степенные зависимости и подобные. Однако и приведенный материал будет полезен для студентов на контрольных и тестах.
Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.
Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.
Сумма числового ряда
Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу:
Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:
- ∑ - математический знак суммы;
- a i - общий аргумент;
- i - переменная, правило для изменения каждого последующего аргумента;
- ∞ - знак бесконечности, «предел», до которого проводится суммирование.
Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3).
В соответствии с переменной i ряд можно записать развернуто:
А 1 + а 2 + а 3 + а 4 + а 5 + … (до «плюс бесконечности).
Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:
S 2 = а 1 + а 2
S 3 = а 1 + а 2 + а 3
S 4 = а 1 + а 2 + а 3 + а 4
Сумма числового ряда – это предел частичных сумм S n . Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».
Сначала найдем сумму числового ряда:
Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда:
Общий первый аргумент берем из формулы: i=3.
Все следующие значения i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.
Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.
Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).
Функция РЯД.СУММ в Excel
Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:
Аргументы функции:
- х – значение переменной;
- n – степень для первого аргумента;
- m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
- а – коэффициенты при соответствующих степенях х.
Важные условия для работоспособности функции:
- все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
- все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
- вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
- количество «коэффициентов» = числу аргументов.
Вычисление суммы ряда в Excel
Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.
Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.
Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула:
S 1 = a (1 + x).
На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:
S 2 = a (1 + x) 2 ; S 3 = a (1 + x) 2 и т.д.
Чтобы найти общую сумму:
S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n
Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().
Исходные параметры для учебной задачи:
Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)
Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2)
Результаты одинаковые, как и должно быть.
Как заполнить аргументы функции БС():
- «Ставка» - процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
- «Кпер» - число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
- «Плт» - периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
- «Пс» - «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».
Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда.
В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.
Построение графика функций суммы числового ряда
Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:
В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.
Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль:
Как мы считали – в строке формул.
На основании полученных данных построим график функций.
Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» - инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график:
Сделаем задачу еще более "прикладной". В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.
Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)
Добавим полученные значения в график «Рост капитала».
Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.
Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): S n = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.
Ответ : ряд расходится.
Пример №3
Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Почему я пишу именно $\frac{2}{3\cdot 5}$, а не $\frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $\lim_{n\to\infty}S_n$, но если мы просто запишем:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}\right), $$
то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.
Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:
$$ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}=\frac{A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$
Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем - будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0\cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.
Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:
$$ \left\{\begin{aligned} & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end{aligned}\right. $$
Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=\frac{2}{15}$, но даст ли выражение $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ значение $\frac{2}{15}$, если подставить в него $n=1$? Проверим:
$$ \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot 1+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}. $$
Итак, при $n=1$ равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.
Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_{k+1}$:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}. $$
Так как $u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$, то $u_{k+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому формула $S_{k+1}=S_k+u_{k+1}$ примет вид:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2(k+1)+3}. $$
Вывод: формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при любом $n\in N$. Равенство доказано.
В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются "вычёркиванием" сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $\lim_{n\to\infty}S_n$:
Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.
Честно говоря, я сам предпочитаю именно этот способ:) Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}. $$
Мы получили ранее, что $u_k=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right). $$
Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $\frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $\frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:
$$ S_n =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+3}\right). $$
Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство можно оформить более компактно:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}. $$
Теперь преобразуем выражения $\frac{1}{2k+1}$ и $\frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Я полагаю удобным приводить к виду большей дроби (хотя можно и к меньшей, это дело вкуса). Так как $\frac{1}{2k+1}>\frac{1}{2k+3}$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), то будем приводить дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$.
Выражение в знаменателе дроби $\frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:
$$ \frac{1}{2k+3}=\frac{1}{2k+2+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}. $$
И сумму $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Если равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.
Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть
У нас был ряд $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, - например, $t$. Итак, $t=k+1$.
Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$ теперь стало таким: $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$.
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}. $$
У нас есть сумма $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? :) Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:
$$ \sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Вот так и получается равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$.
Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Заметьте, что суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ и $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. "Забирая" первый элемент из суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ будем иметь:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2\cdot 1+1}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}. $$
"Забирая" последний элемент из суммы $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$, получим:
$$\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(n+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}.$$
Тогда выражение для частичной суммы примет вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Напомню, что мы приводили дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $\frac{1}{2k+1}$ в виде $\frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.
Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показать\скрыть
$$ S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2n+3}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Итак, $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Находим предел $\lim_{n\to\infty}S_n$:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. $$
Заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Ответ : $S=\frac{1}{3}$.
Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.