Для вычисления наращенной суммы простого аннуитета используется. Метод «депозитной книжки»
В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, регулярные или нерегулярные взносы, создания разного рода фондов и т.д. Такая последовательность называетсяпотоком платежей.
Аннуитет (или финансовая рента) – поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет.
Теория аннуитета применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т.д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам, выплаты по регрессным искам.
Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:
· величиной каждого отдельного платежа;
· интервалом времени между последовательными платежами (периодом аннуитета);
сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени – вечные аннуитеты);
процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.
Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитетапренумерандо ; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) – самый распространенный случай.
Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью.
Будущая стоимость аннуитета – сумма будущих стоимостей каждой отдельной выплаты или поступления, включенных в аннуитет.
Например , мы можем инвестировать в течение 3-х лет $250 по ставке 10% годовых с начислением процентов каждый год. Какова будущая стоимость аннуитета в $250?
Для расчета применяется формула будущей стоимости FV = PV ´ (1 + r) n для каждого периода отдельно.
Будущая стоимость $250, инвестируемых в конце каждого года в течение 3 лет:
1-й год $250 ´ (1+0.1) 2 = $250 ´ 1.21 = $302.50
2-й год $250 ´ (1+0.1) = $250 ´ 1.10 = $275.00
3-й год $250 ´ 1 = $250 ´ 1.00 = $250.00
3.31 $827.50
Для облегчения расчетов применяется специальная таблица будущей стоимости аннуитета в 1 доллар, выплачиваемого в конце года (таблица С-4), пользуясь которой мы получим: $250 ´ 3.31 = $827.50.
Текущая (дисконтированная) стоимость аннуитета - сумма текущих стоимостей каждой отдельной выплаты или поступления, включенных в аннуитет.
Для определения текущей стоимости будущих поступлений или выплат в соответствии с контрактами по финансируемой аренде, которые требуют равнозначных платежей на протяжении равных интервалов, используется текущая стоимость аннуитета.
Например, текущая стоимость аннуитета в $250 на три года под 10% годовых, выплачиваемых в конце каждого года может быть рассчитана с применением формулы дисконтированной стоимости PV = FV´ для каждого периода отдельно:
1-й год $250 ´ = $250 ´ 0.9091 = $227.20
2-й год $250 ´ = $250 ´ 0.8264 = $206.57
3-й год $250 ´ = $250 ´ 0.7513 = $187.95
Этого же самого результата можно достичь более простым путем с применением таблицы текущей (дисконтированной) стоимости аннуитета в 1 доллар, выплачиваемого в конце периода.
Инвестирование денежных средств в различные программы, создание денежных фондов целевого назначения, погашение банковской задолженности и т. п предусматривают выплаты будут осуществляться через определенные промежутки времени. При этом возникает ряд последовательных платежей, которые называют потоком платежей.
Ряд последовательных фиксированных платежей , которые осуществляются через равные промежутки времени, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).
Теория аннуитетов является важной частью финансовой математики. Различают два основных типы рент:
- безусловные ренты - ренты с фиксированным сроком, то есть даты первой и последней выплаты определены до начала ренты;
- условные ренты - ренты, в которых дата первой и последней выплат зависит от определенного события.
Они могут осуществляться или в конце, или в начале каждого периода. В соответствии с этим различают два виды аннуитетов (рент): - обычный (отложенный, постнумерандо) - платежи осуществляются в конце каждого периода;
предварительный (авансовый, вексельный, пренумерандо) - платежи или выписка счетов осуществляются в начале каждого периода. Аннуитет может быть выходным денежным потоком предпринимателя (осуществление периодических равновеликих взносов на счет банковского учреждения) или входным денежным
потоком (поступление арендной платы, которая обычно устанавливается одинаковой фиксированной суммой).
Обобщающими показателями аннуитета является его будущая и настоящая стоимость.
Пусть инвестор в течение определенного периода времени в конце каждого года получает платежи, которые не являются одинаковыми. Если он будут инвестировать сумму каждого платежа на время до окончания данного периода, то после его завершения получит некоторую сумму денег, которую называют будущей стоимостью потока платежей.
Будущая стоимость аннуитета - это сумма всех членов потоков платежей с начисленными на них процентами на конец периода, т. е. на дату последней выплаты. Она показывает, какую величину будет представлять капитал, который вкладывается через равные промежутки времени в течение всего срока аннуитета вместе с начисленными процентами.
Формула определение будущей стоимости обычного аннуитета (на конец года) такова:
где РУ4 - общая будущая стоимость аннуитета на конец определенного периода; А - аннуитетные платежи;
Определение будущей стоимости аннуитетов с помощью таблиц (Приложение В) предполагает использование фактора процента будущей стоимости аннуитетов (РУІГЛ) за п периодов с г процентной ставке:
где РУ№А - аннуитетный фактор, или процентный фактор будущей стоимости аннуитета (Приложение В).
В того, чтобы вычислить будущую стоимость аннуитетов с помощью таблиц, используется формула 4. 25:
Следует обратить внимание, что формула (4.25) касается обычного (отсроченного) аннуитета (ренты).
Пример . Определите общую будущую стоимость платежей аннуитета на сумму $100, который платится раз в год в течение четырех лет. Возьмите сложный процент 10%.
Определить общую будущую стоимость этих последовательных платежей не трудно. Достаточно суммировать факторы будущей стоимости за каждый год, в котором выплачивается аннуитет.
За таблицей будущей стоимости, фактор аннуитета за 4 года по 10% сложного процента являются: 1,000 + 1,100 + 1,210 + 1,33, или 4,641. Через 4 года ежегодный платеж $100 будет стоить $ 100*4,641, или $464,10.
Используя данные из нашего примера, определим фактор 4-летнего аннуитета. Он составляет 4,641.
Однако, если имеет место авансовый аннуитет (рента), порядок количественной оценки будущей стоимости денежного потока несколько изменяется.
Необходимость корректировки финансово-математической модели оценки отсроченной ренты обусловлена различиями в порядке движения денежных средств, что наглядно можно увидеть в таблице. Так, для обычного аннуитета денежные потоки возникают по окончании первого интервала периода, который анализируется (именно поэтому обычный аннуитет часто называют отсроченным).
Для авансового аннуитета характерным является движение денежных средств уже начиная с первого интервала планового периода. Упомянутые различия обусловливают разницу между отсроченным и авансовым аннуитетом на один интервал, что и заложено в финансово-математическая модель оценки будущей стоимости авансового аннуитета.
Для расчета будущей стоимости авансового аннуитета (на начало года) применяется формула 4.26:
Пример . Определить будущую стоимость аннуитета, если ежегодный взнос составляет 6000 игры. в течение пяти лет, а процентная ставка -16%. Сравнить аннуитеты по условиям осуществления взносов на начало и в конце года.
Когда финансовые менеджеры стоят перед тем, что в будущем постоянно, регулярно будут поступать деньги и им надо определить настоящую стоимость тех поступлений, они могут сделать две вещи:
1) вычислить приведенную стоимость поступлений за каждый год, используя соответствующие факторы. Но это долгое и хлопотное дело;
2) вычислить приведенную стоимость аннуитета, используя факторы текущей стоимости аннуитета. Это более короткий и простой путь.
Вспомните, как мы рассматривали будущую стоимость аннуитетов и отмечали, что факторы стоимости аннуитетов - это сумма факторов будущей стоимости. Тот же принцип применяется, когда определяется приведенная стоимость аннуитетов для серии одинаковых поступлений будущих денежных потоков. Все, что нужно сделать, это сложить факторы текущей стоимости за определенный период умножить полученный общий аннуитетный фактор на денежный поток за любой год.
Математическое уравнение для определение настоящей стоимости аннуитета такое:
где РУКІ"А - настоящая стоимость аннуитета; А - сумма аннуитета;
г ставка дисконта (выраженная десятичной дробью); п количество лет или периодов;
РУІРА- процентный фактор настоящей стоимости аннуитета (показатель аннуитетов за п - ну количество периодов, дисконтова ный на г процента)(Приложение Г).
В финансовых таблицах суммируются факторы текущей стоимости (Приложение Г). В таблице приведены процентные факторы текущей стоимости аннуитетов - (PVIF.) Present Value Interest Factor Annuities, в результате чего таблица достаточно легко читается.
Пример . Скажем, вы хотите купить акцию А, что в течение 5 лет будет приносить доход в $1,000, а также акцию Б, которая ежегодно в течение 5 лет будет давать дохіду $1,025. Вас интересует, в какие акции лучше вложить деньги. Эксперт, который производит оценку ценных бумаг, говорит, что акции имеют дисконтуватись под 10%. а акции Б под 12%.
Чтобы сравнить нынешнюю стоимость аннуитетов этих акций, достаточно найти в таблице соответствующие значения процентных факторов текущей стоимости аннуитетов. По 10% на 5 лет фактор имеет значение 3,7908, по 12% соответственно 3,6048. Имея значения этих факторов, можно подсчитать приведенную стоимость обеих акций:
PV акции А = $1,000x3,791 * $3,791
PV Бы акции - $ 1,025x3,605 = $3,695
После дисконтирования аннуитетов, или денежных доходов, от этих акций становится очевидным, что акция Бы, доход которой ниже, чем от акции А, менее привлекательна, учитывая соотношение риска и дохода.
Финансово-математическая модель определения настоящей стоимости аннуитетов применяется для вычисления постоянных равных выплат по погашению кредита, арендных платежей за пользование активами предприятия, для сравнения настоящей стоимости ценных бумаг, которые дисконтируются под разные процентные ставки и приносят владельцу определенный ежегодный доход, для определения суммы, которую необходимо положить на депозит при условии изъятия со счета каждого года одинаковой суммы денег.
Итак, формула (4.24) касается обычного (отсроченного) аннуитета (ренты). Однако, если имеет место авансовая рента, порядок расчета приведенной стоимости денежного потока несколько изменяется.
Необходимость корректировки отсроченной ренты обусловлена различиями в порядке движения денежных средств. Для обычного аннуитета денежные потоки, стоимость которых оценивается, возникают по окончании первого интервала анализируемого периода (поэтому обычный аннуитет называют также отсроченным). Для авансового аннуитета характерным является движение денежных средств уже в начале первого интервала планового периода. Перечисленные особенности обусловливают различие между отсроченным и авансовым аннуитетом на один интервал, что и отражает формула оценки приведенной стоимости авансового аннуитета (на начало года):
Пример . Определить приведенную стоимость аннуитета, если периодические поступления в течение четырех лет составляют 8000 грн., а процентная ставка - 16%. Сравнить стоимость аннуитетов при условии поступления средств в начале и в конце года.
авансового аннуитета каждый период дисконтируется одной выплатой. Поскольку выплаты выполняются быстрее, такая рента имеет большую стоимость, чем обычная. Значение авансовой ренты может быть рассчитано умножением показателя РУ обычной ренты на (И + г).
Таким образом в данной теме рассмотрены основные финансово-математические модели, которые могут быть применены для оценки стоимости денег во времени и определение на этой основе доходности различных инвестиционных проектов и выбора из них оптимального.
Однако, применяя математический аппарат для вбору того или иного варианта вложения денежных средств, финансовый менеджер должен также учитывать обстоятельства субъективного характера, которые невозможно формализовать в ту или иную финансово-математическую модель: источники возникновения первоначального капитала; репутация фирмы, в которой инвестируются средства; экономическая и политическая стабильность в стране и др.
ГЛОССАРИЙ
Стоимость денег - количество товаров и услуг, которые можно обменять на единицу денег; покупательная способность единицы денег; величина, обратная уровню цен.
Текущая стоимость будущих денежных потоков (РV) -сумма будущих денежных поступлений, возведенных с учетом определенной процентной ставки (так называемой "скидки") до настоящего периода с поправкой на риск;
Будущая стоимость денег (FV) - сумма инвестированных в настоящий момент средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента.
Процентная ставка - это отношение суммы дохода, выплаченного за фиксированный интервал времени, к величине займа.
Ставка дисконтирования - это процентная ставка, используемая для приведения будущих поступлений (денежных потоков и прибыли) к настоящей стоимости.
Дисконтирование - это нахождение начальной или текущей суммы долга (РУ) по известной конечной сумме.(РУ), которую нужно отдать через некоторое время (п).
Простое компаундирования (наращивание) (single compounding) - финансово-математическая модель расчета стоимости имеющихся денежных ресурсов, или теперешних денежных потоков, использование которых в течение четко определенного периода, как ожидается, даст возможность получить соответствующий экономический эффект в будущем.
Простой процент - начисления по текущей стоимости вклада в конце одного периода платежа, обусловленного условиями инвестирования (месяц, квартал и тому подобное).
Сложный процент - сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.
Аннуитет - это серия вкладов или выплат равных сумм, которые осуществляются через определенные интервалы или определенное количество периодов.
Аннуитеты. Текущая стоимость аннуитета. Будущая стоимость аннуитета
Аннуитет (финансовая рента) - ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени.
Ренты, по которым платежи производятся раз в год, называются годовыми; ренты, платежи по которым производятся несколько раз в год, либо период между платежами может превышать год, называются дискретными.
По моменту, с которого начинается реализация рентных платежей, ренты делятся на немедленные (платежи производятся сразу же после заключения контракта) и отложенные (срок реализации откладывается на указанное в контракте время).
По моменту выплат подразделяются на обычные - постнумерандо, в которых платежи производятся в конце соответствующе периодов (года, полугодия и т. д.), и пренумерандо, в которых платежи осуществляются в начале соответствующих периодов. Встречаются также ренты, в которых предусматривается поступление платежей в середине периода.
Обобщающими показателями ренты являются: наращенная сумма и современная (текущая, приведенная) величина.
Наращенная сумма ренты (FVA) - это сумма потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращенная сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.
где FVA - будущая стоимость аннуитета (future value of annuity);
А - платеж, осуществленный в конце периода t (величина ежегодного взноса);
i - уровень дохода по инвестициям (годовая процентная ставка);
n - число периодов, в течение которых получается доход.
Если суммы платежей одинаковы в каждом периоде, то это уравнение можно представить в виде:
Коэффициент наращения ренты, который называют также коэффициентом накопления денежной единицы за период. Коэффициент наращения ренты показывает будущую стоимость аннуитета в 1 руб. в конце каждого периода получения доходов на протяжении n периодов и при ставке процентного дохода на уровне i. Коэффициенты наращения ренты табулированы приложении.
Ренты (пренумерандо) также называются авансовыми или причитающимися аннуитетами, т. е. первый платеж производится немедленно, а последующие платежи производятся через равные интервалы. Сумма членов такой ренты вычисляется по формуле:
т. е. сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (1+i) раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:
где FVAo - наращенная сумма аннуитета постнумерандо.
В случае, когда платежи производятся в середине периодов, вычисление наращенной суммы производится по формуле:
где FVAо - наращенная сумма платежей, выплачиваемых в конце каждого периода (рента постнумерандо).
Если начисление процентов осуществляется m раз в год, то расчет будущей стоимости аннуитета производится по формуле:
Определение будущей стоимости дискретной ренты (платежи осуществляются несколько раз в год) осуществляется по формуле:
Пример 1. В компании принято решение сформировать инвестиционный фонд, откладывая в течение 10 лет по 500 000 руб. на банковский счет со ставкой 10%. Сколько средств будет в инвестиционном фонде компании через 10 лет.
Пример 2. Предприятию предстоит через 5 лет заменить технологическую установку стоимостью в 1 млн. руб. Имеется договоренность с банком об открытии накопительного счета под амортизационный фонд со ставкой в 10% годовых. Спрашивается, сколько надо предприятию ежегодно перечислять на этот счет, чтобы к концу 5 года собрать сумму, достаточную для покупки аналогичной установки (не беря в расчет инфляцию)
1 000 000 = А. 6,105
А = 1 000 000 / 6,105 =163 800,2 руб.
Пример 3. Производственная компания заключила договор с банком на 5 лет, поступающие ежегодные денежные платежи в размере 10 млн. руб. помещаются на депозит под 8% годовых с начислением процентов по полугодиям. Определите сумму депозита в конце срока договора.
Пример 4. Для создания фонда развития фирма заключила договор с банком, предусматривающий ежеквартальное внесение 15 млн. руб. на депозит в течение 5 лет под 7,5% готовых. Определите сумму депозита по окончанию срока договора.
Современная величина ренты (ее также называют текущей, или приведенной величиной) - это сумма всех членов ренты, дисконтированных на момент приведения по выбранной дисконтной ставке.
где FA - будущие поступления денежных средств в конце периода t;
i - норма доходности по инвестициям (годовая процентная ставка);
n - число периодов, на протяжении которых в будущем поступят доходы от современных инвестиций.
Для ренты с членами, равными будущими поступлениями денежных средств (FA), современная величина рассчитывается по формуле:
Коэффициент приведения ренты - текущая стоимость аннуитета стоимостью в 1руб. в конце каждого из n периодов при ставке доходности на уровне i.
Данный показатель также называется текущей стоимостью обычного аннуитета, или текущей стоимостью будущих платежей. Коэффициенты приведения ренты табулированы в приложении.
В случае начисления процентов m раз в год, расчет текущей (приведенной) стоимости аннуитета производится по формуле:
где m - число начислений в течение года.
Определение текущей стоимости дискретной ренты (платежи осуществляются несколько раз в год) осуществляется по формуле:
где k - число рентных платежей в течение года.
Пример 1. Фирмой предусматривается создание в течение 3 лет фонда инвестирования в размере 811,6 тыс. руб. Фирма имеет возможность ассигновать на эти цели ежегодно 250 тыс. руб., помещая в банк под 8 % годовых. Какая сумма потребовалась бы фирме для создания фонда, если бы она поместила ее в банк одномоментно на 3 года под 8 % годовых.
Для ответа на поставленный вопрос рассчитаем текущую величину ренты с параметрами: FA = 250 тыс. руб.; n = 3; i = 8%.
Действительно, если бы фирма имела возможность указанную сумму (644,27 тыс. руб.) поместить в банк на 3 года под 8%, годовых, то наращенная сумма составила бы:
В то же время наращенная сумма при ежегодных платежах в размере 250 тыс. руб. под 8 % годовых составит:
Пример 2. Фирма создает фонд развития путем ежегодных помещений в банк сумм в размере 2 млн. руб. под 10% годовых. Взносы в банк производятся равными частями один раз в год в середине года. Необходимо определить величину фонда к концу пятого года и современную стоимость потока платежей.
Определение наращенной суммы (величины фонда).
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Будущая стоимость аннуитета. |
| Рубрика (тематическая категория) | Дом |
Будущая стоимость единицы (накопленная сумма единицы).
Характеристика шести стандартных функций
Окончание табл. 4
| Функция | Общая характеристика. Назначение |
| 2. Будущая стоимость аннуитета (FVA ) | Позволяет решать задачу типа: ʼʼОпределить размер денежных средств на счете вкладчика. В случае если течении n лет m раз в год вносить фиксированную сумму денежных средств PMT при начислении банком процентов на данный вклад. |
| 3. Дисконтирование. (Текущая стоимость единицы) (PV ) | Функции позволяет решать задачи типа: ʼʼОпределить размер денежных средств PV , который крайне важно внести на депозит сегодня, чтобы через n лет при начислении m раз в год и определенной процентной ставке накопить определенную сумму денежных средствʼʼ. |
| 4. Текущая стоимость аннуитета (PVA ) | Позволяет решить задачи типа: ʼʼОпределить размер денежных средств, которые крайне важно поместить на депозит сегодня при годовой процентной ставке, чтобы в течении n лет m раз в год снимать со счета определенные равные суммы денежных средств PMT ʼʼ. |
| 5. Периодический взнос в погашение кредита (А ) | Позволяет решать задачи типа ʼʼОпределить равновеликий размер денежных средств, который можно снимать со счета n раз в год, в случае если известен первоначальный капитал и процентная годовая ставкаʼʼ. |
| 6. Периодический взнос на накопление фонда (А ф) | Позволяет решать задачи типа: ʼʼОпределить размер денежных средств, который крайне важно с периодичностью m раз в год вносить в течении n лет на пополняемый депозит, чтобы накопить определенный капитал. |
Рассмотрим применение данных формул при оценке денежных потоков объектов недвижимости.
Эта функция позволяет определить стоимость объекта недвижимости или финансовых потоков, связанных с использованием объекта недвижимости в будущем времени:
,(4)
где FV – будущая стоимость объекта недвижимости, руб.; PV – текущая стоимость объекта недвижимости, руб.
В случае применения эффективной ставки процента (нормы доходности) эта формула примет вид:
, (5)
Пример 1:
Объект недвижимости был приобретен за 10 млн руб. Какова будет стоимость объекта через два года, в случае если ежегодный рост стоимости на данном сегменте рынка недвижимости составляет 5 %?
Решение:
Дано: PV = 1; Е = 0,05; n = 3
FV = 10 (1 + 0,05) 2 = 11,025 млн руб.
Пример 2:
Какова будет предположительно стоимость жилья через два года, в случае если на текущий момент времени средняя стоимость одного квадратного метра жилья составляла 30 тыс. руб., а ежеквартальный рост цен на жилую недвижимость прогнозируется на уровне 1 %.
Решение:
Дано: PV = 30; е = 0,01; n = 2; m = 4.
FV = 30 (1 + 0,01) 2 × 4 = 32,5 тыс. руб. за м 2 .
Эта функция позволяет определить будущую стоимость аннуитетных поступлений:
. (6)
В случае осуществления более частых поступлений:
. (7)
Пример 3:
Определить размер денежных средств, накопленных на счете в течение 3 лет для покупки объекта недвижимости, в случае если ежегодно вносить 280 тыс. руб. на депозит под 9 % годовых.
Решение:
Дано: A = 280 ; Е = 0,09; n = 3.
FVA = 280{[(1 + 0,09) 3 – 1] / 0,09} = 918 тыс. руб.
Пример 4:
Семья предполагает приобрести через 3 года квартиру. С этой целью открыт жилищный накопительный счёт в банке, на который в конце каждого квартала вносятся по 70 тыс. руб. Какая сумма накопится на счете через три года, в случае если по счету начисляется 9% годовых?
Решение:
Дано: A = 70, Е = 0,09, n = 3, m = 4.
FVA = 70{[(1 + 0,09 / 4) 3 × 4 – 1] / (0,09 / 4)} = 952,16 тыс. руб.
В данном примере можно увидеть преимущество применения эффективной ставки доходности: чем чаще реализуются взносы на счет, тем больше накопленная сумма.
Будущая стоимость аннуитета. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Будущая стоимость аннуитета." 2017, 2018.
Чтобы лучше разбираться в принципах финансово–экономической оценки инвестиционных проектов, проанализируем еще один тип финансовых операций, предполагающий ежегодный взнос денежных средств ради накопления определенной суммы в будущем. Примером такого рода операций,... .
(накопление единицы за период(фонд накопления капитала)). Ряд фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени, называются финансовой рентой, или аннуитетом. Обобщающими показателями ренты являются наращенная сумма и современная (текущая,...
Аннуитет, в большинстве случаев, является набором одинаковых денежных потоков, возникающих через равные промежутки времени. При этом будущая стоимость аннуитета будет зависеть от того, в начале или в конце каждого периода будет возникать денежный поток. Если денежный поток возникает в начале каждого периода, то такой аннуитет называют «пренумерандо », если в конце каждого периода – «постнумерандо ». Чтобы лучше разобраться в ситуации, рассмотрим ее на примере.
Рассмотрим простейший аннуитет, когда инвестор планирует ежегодно размещать на срочный депозит по 1000 у.е. под 5% годовых в течении 5 лет. Рассчитаем будущую стоимость этого аннуитета, рассмотрев вариант внесения первой суммы в начале и в конце первого периода.
Если инвестор будет вносить деньги в начале каждого периода (аннуитет пренумерандо
Будущую стоимость каждого денежного потока можно рассчитать, воспользовавшись следующей формулой.
N – количество периодов.
Настоящая стоимость каждого денежного потока составит.
FV 1 = 1000/(1+0,05) 5 = 1276,28 у.е.
FV 2 = 1000/(1+0,05) 4 = 1215,51 у.е.
FV 3 = 1000/(1+0,05) 3 = 1157,63 у.е.
FV 4 = 1000/(1+0,05) 2 = 1102,50 у.е.
FV 5 = 1000/(1+0,05) 1 = 1050 у.е.
Первый денежный поток, внесенный в 0 точке, будет размещен на депозит на все 5 лет, второй - на 4 года и т.д. Таким образом, будущая стоимость аннуитета будет равна сумме всех пяти денежных потоков 5801,91 у.е.
FVA = 1276,28+1215,51+1157,63+1102,50+1050=5801,91 у.е.
где A – размер платежа;
i – процентная ставка за период;
N – количество периодов.
Подставив данные из приведенного выше примера в формулу мы получим 5801,91 у.е.
Если инвестор будет вносить средства в конце каждого периода (аннуитет постнумерандо), то будущая стоимость всех денежных потоков схематически будет выглядеть следующим образом.
В этом случае первый платеж будет внесен в 1-ой точке и будет размещен на депозит на 4 года, второй платеж – на 3 года и т.д. При этом последний платеж будет внесен в конце 5-го года и проценты на него начислены не будут.
Таким образом, настоящая стоимость каждого денежного потока составит.
FV 1 = 1000/(1+0,05) 4 = 1215,51 у.е.
FV 2 = 1000/(1+0,05) 3 = 1157,63 у.е.
FV 3 = 1000/(1+0,05) 2 = 1102,50 у.е.
FV 4 = 1000/(1+0,05) 1 = 1050 у.е.
FV 5 = 1000/(1+0,05) 0 = 1000 у.е.
При этом будущая стоимость аннуитета будет равна сумме всех денежных потоков 5525,63 у.е.
FVA = 1215,51+1157,63+1102,50+1050+1000=5525,63 у.е.
Также будущую стоимость аннуитета постнумерандо можно рассчитать, воспользовавшись следующей формулой.
Подставив данные из нашего примера мы получим 5525,63 у.е., что подтверждается предыдущими расчетами.
Как показали приведенные выше расчеты, будущая стоимость аннуитета может существенно отличаться в зависимости от того, в начале или в конце периода будут осуществляться платежи. Например, арендодателю будет более выгодно получать авансовые платежи от арендатора . При этом арендатору выгоднее выплачивать арендный платеж в конце каждого месяца, а не в начале. Таким образом, этот фактор необходимо учитывать в финансовых расчетах при оценке имеющихся инвестиционных возможностей.