Главная / Заявления

Определение стоимости аннуитетов. Аннуитет - это что такое? Методы и формулы расчета стоимости аннуитета

Определим Приведенную (текущую) стоимость будущих доходов (или расходов) в случае аннуитета. Для этого будем использовать функцию ПС() . Также выведем альтернативную формулу для расчета Текущей стоимости.

Примечание . Английский вариант функции: PV(rate, nper, pmt, , ), т.е. Present Value – будущая стоимость.

Расчеты в ПС() производятся по этой формуле:

Использование функции ПС() в случае выплаты кредита

Определим сумму кредита, на которую можно рассчитывать, зная сумму ежемесячного платежа, срок кредита и процентную ставку (см. файл примера Лист Кредит ).

Пусть ежемесячный взнос =10000р. (плт), ставка по кредиту 10% (ставка). Кредит планируется вернуть в течение года (кпер=12). Взнос в конце месяца (тип=0).
Записав формулу =ПС(10%/12; 12; -10000; 0; 0) получим ответ 113 745,08р., т.е. взяв эту сумму в кредит и выплачивая по 10000р. ежемесячно, мы погасим полностью кредит через 12 месяцев.

Пример вычисления остатка суммы основного долга (при БС=0, тип=0)

Пусть был взят кредит в размере 100 000руб. на 10 лет под ставку 9%. Кредит должен гаситься ежемесячными равными платежами (в конце периода). Требуется вычислить сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат.
Решение простое – используйте функцию ОСПЛТ(): =ОСПЛТ(9%/12;25;10*12;100000)
Ставка за период (ставка): 9%/12
Номер периода (первый месяц третьего года выплат): 25=2*12+1
Всего периодов (кпер): 10*12
Кредит: 100000
Сумма основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат: -618,26руб.

Теперь выполним те же вычисления, только осмысленно, т.е. понимая, суть расчета.

Вычислим ежемесячный платеж, используя формулу приведенной стоимости. Обозначим сумму кредита как ПС, ежемесячный платеж как ПЛТ: ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Отсюда, ПМТ=ПС* ставка /(1-(1+ставка)^-кпер)=1266,76 (правильность расчета можно проверить с помощью ПЛТ() – см. статью ). ПЛТ() вернет -1266,76. Знак минус указывает на различные направления денежных потоков + (из банка сумма кредита), - (в банк ежемесячные платежи). Формула приведенной стоимости является следствием того, что сумма долей ежемесячных платежей, идущих на погашение основной суммы долга, должна быть равна сумме кредита. Поясним:

Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 1-й период =ПМТ-ПС*ставка, а с учетом знаков =-ПМТ-ПС*ставка (чтобы сумма долей была того же знака, что и ПС). Обозначим эту долю как ПС1. Кстати, ПС*ставка – это сумма процентов, уплаченная за пользование кредитом в первый период.
Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 2-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка=-ПМТ-(ПС +ПМТ+ПС*ставка) *ставка=(-ПМТ-ПС*ставка)*(1+ставка)=ПС1*(1+ставка). Обозначим эту долю как ПС2. Кстати, ПС-ПС1 – это остаток суммы долга в конце второго периода.
Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 3-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1-ПС2)*ставка=-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка+ПС2*ставка =ПС2+ПС2*ставка= ПС2*(1+ставка) =ПС1*(1+ставка)^2
Очевидно, что доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в последний период (кпер)= ПС1*(1+ставка)^ кпер =-(ПМТ+ПС*ставка) *(1+ставка)^ кпер
Чтобы погасить кредит полностью, необходимо, чтобы сумма долей, идущих на погашение кредита, была равна сумме кредита, т.е. =-(ПМТ+ПС*ставка)*(1-(1+ставка)^ кпер)/ставка=ПС. Эта формула получена как сумма членов геометрической прогрессии: первый член =-(ПМТ+ПС*ставка), знаменатель =(1+ставка).
Решая нехитрое уравнение, полученное на предыдущем шаге, получим, что ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Это и есть формула приведенной стоимости (при БС=0 и платежах, осуществляемых в конце периода (тип=0)).

Вычислим сумму основного долга, которую нужно будет выплатить начиная с 25-го месяца (т.е. в начиная с 25 и заканчивая 120 периодом). Сделаем это так же используя формулу приведенной стоимости ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Теперь ПМТ нам известно, ПС – это искомая сумма основного долга, которую нужно будет выплатить, начиная с 25-го месяца, т.е. за 96 периодов (120-24=кпер). ПС=86466,91 Правильность расчета можно проверить с помощью ОБЩДОХОД() .
Вычислим сумму процентов, которые будут выплачены в 25-й месяц: 86466,91*ставка=648,50 Правильность расчета можно проверить с помощью ПРПЛТ() .
Наконец, т.к. каждый платеж содержит сумму, идущую в оплату основной суммы долга и начисленные за период проценты, то Сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат получим как: ПМТ-648,50=618,26

Как видим, сумма совпадает результатом ОСПЛТ() , вычисленную ранее (с точностью до знака).

Примечание : в файле примера приведено решение нескольких простых задач по определению .

Обычный аннуитет определяется как серия равновеликих платежей, первый из которых осуществляется через один период начиная с настоящего момента. Он также определяется как серия поступлений. Например, право получать 100 долл. в конце каждого года в течение следующих 4 лет создает обычный аннуитет. Аналогично обязательство ежемесячно выплачивать 100 долл. в течение следующих 300 месяцев является обычным аннуитетом. Текущая стоимость аннуитета показана графически на рис. 3-9.

Рис. 3-9. Текущая стоимость обычного аннуитета

Текущая стоимость аннуитета при заданной ставке дисконта может быть рассчитана путем оценки каждого платежа (поступления) в отдельности. При этом сумма каждого платежа умножается на соответствующий фактор текущей стоимости единицы.
Например, право получения 100 долл. чистого рентного дохода в конце каждого года на протяжении следующих 4 лет может быть оценено, если учитывать каждое из четырех поступлений как отдельную реверсию. При 10%-ной ставке дисконта стоимость первого поступления равна 90,91 долл. (100,00 долл. X 0,90909 = 90,91 долл.); второго - 82,64 долл., третьего - 75,13, четвертого - 68,30 долл. Текущая стоимость всего четырехлетнего аннуитета составляет 316,98 долл. (90,91 долл. + 82,64 долл. + 75,13 долл. + 68,30 долл.). Поэтому при 10%-ной ставке сегодняшние инвестиции в 316,98 долл. (текущая стоимость) являются обоснованной платой за право ежегодного получения 100,00 долл. на протяжении последующих четырех лет.

Предварительно рассчитанные таблицы. Широкое и интенсивное использование фактора текущей стоимости аннуитета привело к построению соответствующих таблиц. Данные таблицы показывают факторы с учетом того, что каждый платеж за период равен 1 долл. Это фа-кторы аннуитета (annuity factors), или факторы Инвуда (Inwoodfactors), по имени Уильяма Инвуда (1771-1843). Во многих таблицах сложно го процента они показаны в колонке 5.

Фактор Инвуда рассчитывается по следующей формуле:

Фактор текущей стоимости аннуитета может быть также рассчитан ка сумма текущих стоимостей в 1 долл. за определенный временной период

Для построения аннуитетной таблицы следует просто сложить факторы текущей стоимости единицы за соответствующее число лет, как это показано в табл. 3-7.

ТАБЛИЦА 3-7

Соотношение текущей стоимости единицы и текущей стоимости аннуитета (ставка = 10%)

	Текущая стоимость единицы

Метод «депозитной книжки»

Как способ проверки или доказательства того, что текущая стоимость аннуитета определена правильно, рассмотрим метод «депозитной книжки». В соответствии с данным подходом любые суммы, находящиеся на депозите» должны приносить процент. Снимаемые суммы перестают приносить процент. Текущая стоимость аннуитета показывает сумму сегодняшнего депозита, с которого (включая начисляемый на остаток процент) в течение всего срока аннуитета может ежегодно сниматься определенная равная сумма.

Например, рассмотрим сегоднящний депозит в 316,98 долл. Если бы эта сумма была внесена на беспроцентный текущий счет к с него ежегодно в течение четырех лет снимались равные суммы, то последние не могли превысить 79,24 доля* Однако, если бы на остаток вклада ежегодно выплачивался процент, то ежегодные изъятия могли бы быть больше 79,24 долл. Чем выше ставка процента, тем выше сумма возможного ежегодного изъятия. При ставке 10% она может составить 100 долл. Для проверки обратимся к табл. 3-8. Заметим, что процент прибавляется в конце каждого года» в зависимости от суммы остатка на протяжении года. В конце каждого года со счета снимаются 100 долл.» включая процент.

ТАБЛИЦА 3-8

Метод «депозитной книжки» (депозит в 316,98 долл.» при ставке 10% и ежегодном изъятии 100 долл.)

			Остаток
на начало года	на остаток	годовое изъятие	на конец года
			(в долл.)
			= 248,68
			= 173,55
			= 90,91

Применение калькулятора

Используя для оценки аннуитета финансовый калькулятор» введите число периодов N, ставку процента %I и известный периодический платеж РМТ. Затем наберите COMPUTE и PV. На дисплее появится текущая стоимость аннуитета. Пример показан на рис. 3-10.

РИС. 3-10. Клавиши калькулятора, используемые для расчета текущей стоимости аннуитета при ставке дисконта 10%, ежегодном дисконтировании за 4 года и ежегодном платеже в 100,00 долларов

Укороченные интервалы

Поступления от обычных аннуитетов часто происходят не раз в год, а ежемесячно» каждый квартал или каждое полугодие. Для того чтобы учесть это, необходимо номинальную ставку процента разделить на число периодов в году. Общее число периодов равно числу лет, умноженному на число периодов в году.

Авансовый аннуитет (причитающийся аннуитет)

Некоторые аннуитеты структурированы таким образом, что первое поступление (платеж) в потоке доходов происходит немедленно. Последующие же платежи производятся через равные интервалы. Такие аннуитеты называются авансовыми (annuities in advance), ИЛИ причитающимися аннуитетами (annuities due).

Для того чтобы оценить подобный аннуитет, рассмотрим первый платеж, осуществляемый на полную сумму. Он производится немедленно, поэтому дисконтировать его не следует. Последующие поступления дисконтируются. Поскольку второе поступление произойдет через один временной интервал от настоящего момента, его следует оценивать с использованием фактора текущей стоимости реверсии для первого интервала (из стандартных таблиц). Для того чтобы превратить фактор обычного аннуитета в фактор авансового аннуитета, необходимо взять фактор обычного аннуитета для потока доходов, укороченного на один период, и добавить к нему единицу. При добавлении единицы как раз и учитывается первое поступление. При сокращении потока на один период во внимание принимается текущая стоимость остальных платежей.

Например, на протяжении четырех лет ежегодный чистый рентный доход составляет 100 долл., причем он выплачивается в начале каждого года. Текущая стоимость потока доходов, дисконтированная по ставке 10%, равна 348,68 долл. Текущая стоимость первого платежа - 100,00 долл., второго - 90,91 долл., третьего - 82,64 долл., четвертого - 75,13 долл. (100,00 долл. + 90,91 долл. + 82,64 долл. + 75,13 долл. = 348,68 долл.).

Некоторые калькуляторы для авансового аннуитета предусматривают клавишу DUE. Клавиши, используемые для расчета текущей стоимости причитающегося аннуитета, показаны ниже.

Результат: 316,98 (на дисплее)

Использование двух факторов
Доход, ожидаемый от недвижимого имущества, часто состоит из двух частей: а) поток доходов; б) единовременная сумма от перепродажи актива. Соответственно, для его оценки следует использовать два различных фактора сложного процента.
Например, предположим, что на протяжении 25 лет в конце каждого года недвижимость должна приносить доход в 65 000 долларов, затем она будет перепродана за 500 000 долларов Соответствующая ставка дисконта равна 12%. Для оценки ожидаемых 65 000 долларов ежегодного дохода может быть использован фактор текущей стоимости аннуитета (колонка 5) (65 000 долларов х 7,8431 = 509 804 долларов), а для оценки единовременной суммы от перепродажи актива - фактор текущей стоимости единицы (колонка 4) (500 000 долларов X 0,05882 29 411 долларов). Общая стоимость собственности оценивается в 539 000 долларов (509 804 долларов + 29 411 долларов = 539 215 долларов, что округляется до 539 000 долларов). Таким образом, для анализа двух составляющих ожидаемого общего дохода использованы два различных фактора сложного процента.
Использование «расщепленных» коэффициентов
Инвестиционные предложения могут содержать прогнозы на получение доходов с разным уровнем осознанного риска. Для того чтобы сделать поправки на эти различия, при оценке прогнозируемых доходов следует применять различные ставки дисконта.
В качестве примера, предположим, что здание сдано в аренду правительству США сроком на 25 лет при ежегодном чистом рентном доходе 65 000 долларов Ожидается, что по окончании этого срока оно будет перепродано за 500 000 долларов Поток доходов абсолютно ясен. Что же касается цены перепродажи, то здесь сохраняется неопределенность; здание может быть реализовано и за значительно большую (меньшую) сумму, чем 500 000 долларов Для того чтобы учесть неопределенность прогнозируемой цены перепродажи, при ее дисконтировании следует использовать более высокую ставку. Выбор последней является результатом аналитических оценок, выносимых с учетом текущих рыночных ставок.
Так, известный поток ежегодных доходов в 65 000 долларов может быть дисконтирован по 12%-ной ставке, в то время как 500 000 долларов, прогнозируемые от перепродажи собственности, - по 15%-ной ставке. В этом случае оценочная стоимость собственности составит 524 000 долларов:

$65 000×7,8431 = 509 802
$500 000×0,0304 = 15 200
525 002

Всего Округление до $525 000

Повышающиеся или снижающиеся потоки доходов

Аренда или ипотека могут предусматривать периодическое увеличение или снижение платежей. В том случае, когда платеж должен возрастать, имеет место «повышающаяся» аренда, часто используемая арендодателем как средство защиты от инфляции. Снижение же арендных платежей может иногда использоваться с учетом износа собственности по мере ее старения. Оценка повышающихся или снижающихся потоков доходов с использованием сложного процента может быть проведена различными путями.
Например, предположим, что чистый рентный доход подлежит выплате в конце каждого года по следующей схеме:

Данному потоку доходов соответствует ставка дисконта 12%. Реверсия (перепродажа) актива должна рассматриваться отдельно. Использовано три расчетных метода:

1. Оценить 25-летний поток ежегодного дохода в 70 000 долларов; затем вычесть текущую стоимость потока ежегодного дохода в 10 000 долларов, получаемого в течение первых пяти лет:

2. Оценить 25-летний поток ежегодного дохода в 60 000 долларов; за тем добавить текущую стоимость потока ежегодного дохода в 10 000 долларов, получаемого в течение последних 20 лет:

3. Оценить 25-летний поток ежегодного дохода в 60 000 долларов и добавить текущую стоимость потока ежегодного дохода в 10 000 долларов получаемого между пятым и 25-м годами:

(Различия между тремя результатами являются следствием их округления.)

Сложный процент является краеугольным камнем сложного инвестиционного анализа. Он предполагает, что все деньги, находящиеся на депозите, будут приносить процент, как первоначальная сумма, так и начисленный, но не выплаченный процент. Текущая стоимость реверсии - это величина, обратная сложному проценту. Она показывает нынешнюю стоимость денежной суммы, которая, как ожидается, будет получена в будущем. Текущая стоимость аннуитета - это стоимость серии платежей или поступлений, которые должны произойти в будущем.

После оценки сумм и времени получения притока денежных средств от инвестиций, может быть определена их текущая стоимость, исходя из соответствующей ставки дисконта. Для того чтобы оценить, насколько прогнозируемый доход действительно оправдывает необходимые инвестиционные расходы, следует сравнить риск или неопределенность, связанные с различными вариантами инвестиций, с предлагаемыми ими ставками дохода.

Определим Будущую стоимость инвестиции в случае аннуитета. Под инвестицией будем понимать как регулярные взносы, так и начальный взнос. Для этого будем использовать функцию БС() . Также выведем альтернативную формулу для расчета Будущей стоимости.

В MS EXCEL Будущая стоимость для аннуитета и для сложных процентов рассчитывается функцией БС() .

Примечание : в случае переменной ставки для нахождения Будущей стоимости по методу сложных процентов (не аннуитет) используется функция БЗРАСПИС() .

Использование функции БС() в случае накопления вклада

Функция БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип]) возвращает на основе периодических постоянных (равных по величине сумм) платежей и постоянной процентной ставки.
Например, если у Вас сейчас на банковском счете сумма ПС и вы ежемесячно дополнительно вносите одну и туже сумму ПЛТ, то функция вычислит сумму на Вашем банковском счете через Кпер месяцев.
Теперь несколько замечаний:

Предполагается, что капитализация процентов происходит также периодически с процентной ставкой равной величине СТАВКА;
Процентная ставка указывается за период (если период равен месяцу, а задана годовая ставка =10%, то СТАВКА =10%/12);
По умолчанию аргумент Тип=0, т.е. пополняющие счет вклады делаются в конце каждого периода. Если Тип=1, то пополняющие счет вклады делаются в начале каждого периода;
Начальная сумма вклада ПС м.б. =0, но тогда суммы дополнительных взносов ПЛТ не должны быть =0;
Суммы дополнительных взносов м.б. =0, но тогда Начальная сумма вклада ПС не должна быть =0.

Примечание . Английский вариант функции: FV(rate, nper, pmt, , ), т.е. Future Value – Будущая Стоимость.

Расчеты в БС() производятся по этой формуле:

Из формулы видно, будущая стоимость состоит из 2-х составляющих: будущая стоимость инвестиции ПС (вычисляется по формуле ) и будущая стоимость периодических равновеликих взносов ПЛТ (вычисляется по формуле ).

Примечание . При БС=0 (начальная инвестиция =0) Будущая стоимость не зависит от параметра Тип.

Вычислим Будущую стоимость в случае накопления вклада. Исходные данные приведены на рисунке ниже.

В результате расчетов получим следующий график накопления вклада (см. файл примера Лист Накопление ).

Примечание . Функцию БС() можно также использовать для вычисления баланса на конец периода (см. файл примера Лист Накопление, столбец G ). Для этого используйте выражение = БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип])/ (1+ставка*тип)

Примечание . При Тип=1 (начисление процентов в начале периода), баланс на конец последнего периода не равен БС (как при Тип=0), т.к. учитывается начисление процентов на следующий день после окончания последнего периода! Т.е. к балансу на конец последнего периода прибавляется величина =БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип])*ставка

Вывод формулы Будущей стоимости

Формула аннуитета может быть получена как сумма членов геометрической прогрессии, где знаменатель =(1+ставка). Выведем формулу аннуитета при Тип=0 в случае накопления вклада в течение Кпер периодов. Накопление вклада производится регулярными взносами (платежами) ПЛТ, начальная сумма вклада =0 (ПС). За период действует процентная ставка =Ставка.
Итак, выводим:

Т.к. платеж вносится в конце периода, то в 1-й период проценты не начисляются (банк не использовал взнос). Баланс на конец периода =ПЛТ (взнос также сделан в конце периода).
В конце 2-го периода проценты начисляются на величину ПЛТ (на взнос, который был сделан в 1-м периоде). Баланс на конец 2-го периода =ПЛТ+ ПЛТ*ставка+ПЛТ= ПЛТ+ПЛТ*(1+ставка).
В конце 3-го периода проценты начисляются на величину ПЛТ+ ПЛТ *(1+ставка), т.е. на баланс начала 3-го периода (или на баланс конца 2-го периода, что естественно, то же самое). Баланс на конец 3-го периода = (ПЛТ+ ПЛТ *(1+ставка))*ставка+ (ПЛТ+ ПЛТ *(1+ставка))+ПЛТ=(ПЛТ+ ПЛТ *(1+ставка))*(1+ставка) + ПЛТ= ПЛТ *(1+ставка)^2+ ПЛТ *(1+ставка)+ПЛТ.
Очевидно, что баланс в конце последнего периода (кпер)= ПЛТ *(1+ставка)^(кпер-1)+ ПЛТ *(1+ставка)^ (кпер -2)+… +ПЛТ *(1+ставка)^2+ ПЛТ *(1+ставка)+ПЛТ. Заметим, что ПЛТ = ПЛТ *(1+ставка)^0
Формула, полученная на предыдущем шаге, является суммой членов геометрической прогрессии и одновременно =БС: первый член геометрической прогрессии =ПЛТ, знаменатель =(1+ставка). Т.е. БС=ПЛТ*(1-(1+ставка)^ кпер)/(1-(1+ставка))= ПЛТ*(((1+ставка)^ кпер)-1)/ставка. Полученное уравнение с точностью до знака совпадает со вторым слагаемым формулы для вычисления БС (при Тип=0).

Как показано в файле примера (лист Накопление) при задании аргументов функции БС() у ПЛТ указывают знак минус (в этом случае БС>0). Противоположные знаки у ПЛТ и БС указывают на то, что мы имеем дело с разнонаправленными денежными потоками: БС – это деньги, которые банк вернет нам после окончания вклада, а -ПЛТ – это деньги, которые мы регулярно отдаем банку .
Поэтому, окончательная формула для БС() (при ПС=0 и Тип=0): =- ПЛТ*(((1+ставка)^ кпер)-1)/ставка

Использование функции БС() в случае возврата кредита

Функция БС() может быть использована также для нахождения остаточной стоимости ссуды по прошествии заданного количества периодов (см.файл примера Лист Выплата кредита ). Для этого используйте формулу =-БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип])/ (1+ставка*тип)

При выплате кредита обычно предполагается, что по прошествии Кпер периодов (т.е. по истечению срока займа) Будущая стоимость кредита станет равна 0 (т.е. кредит будет полностью возращен).

Примечание : в файле примера приведено решение нескольких простых задач по определению Будущей стоимости.

В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, регулярные или нерегулярные взносы, создания разного рода фондов и т.д. Такая последовательность называетсяпотоком платежей.

Аннуитет (или финансовая рента) – поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет.

Теория аннуитета применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т.д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам, выплаты по регрессным искам.

Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:

· величиной каждого отдельного платежа;

· интервалом времени между последовательными платежами (периодом аннуитета);

сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени – вечные аннуитеты);

процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.

Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитетапренумерандо ; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) – самый распространенный случай.

Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью.

Будущая стоимость аннуитета – сумма будущих стоимостей каждой отдельной выплаты или поступления, включенных в аннуитет.

Например , мы можем инвестировать в течение 3-х лет $250 по ставке 10% годовых с начислением процентов каждый год. Какова будущая стоимость аннуитета в $250?

Для расчета применяется формула будущей стоимости FV = PV ´ (1 + r) n для каждого периода отдельно.

Будущая стоимость $250, инвестируемых в конце каждого года в течение 3 лет:

1-й год $250 ´ (1+0.1) 2 = $250 ´ 1.21 = $302.50

2-й год $250 ´ (1+0.1) = $250 ´ 1.10 = $275.00

3-й год $250 ´ 1 = $250 ´ 1.00 = $250.00

3.31 $827.50

Для облегчения расчетов применяется специальная таблица будущей стоимости аннуитета в 1 доллар, выплачиваемого в конце года (таблица С-4), пользуясь которой мы получим: $250 ´ 3.31 = $827.50.

Текущая (дисконтированная) стоимость аннуитета - сумма текущих стоимостей каждой отдельной выплаты или поступления, включенных в аннуитет.

Для определения текущей стоимости будущих поступлений или выплат в соответствии с контрактами по финансируемой аренде, которые требуют равнозначных платежей на протяжении равных интервалов, используется текущая стоимость аннуитета.

Например, текущая стоимость аннуитета в $250 на три года под 10% годовых, выплачиваемых в конце каждого года может быть рассчитана с применением формулы дисконтированной стоимости PV = FV´ для каждого периода отдельно:

1-й год $250 ´ = $250 ´ 0.9091 = $227.20

2-й год $250 ´ = $250 ´ 0.8264 = $206.57

3-й год $250 ´ = $250 ´ 0.7513 = $187.95

Этого же самого результата можно достичь более простым путем с применением таблицы текущей (дисконтированной) стоимости аннуитета в 1 доллар, выплачиваемого в конце периода.

Обычный аннуитет определяется как серия равновеликих платежей, первый из которых осуществляется через один период начиная с настоящего момента. Он также определяется как серия поступлений. Например, право получать 100 долл. В конце каждого года в течение следующих 4 лет создает обычный аннуитет. Текущая стоимость аннуитета показана графически на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Текущая стоимость обычного аннуитета

Например, право получения 100 долл. Чистого рентного дохода в конце каждого года на протяжении следующих 4 лет может быть оценено, если учитывать каждое из четырех поступлений как отдельную реверсию. При 10%-ной ставке дисконта стоимость первого поступления равна 90,91 долл. (100,00 долл. X 0,90909.- 90,91 долл.); второго - 82,64 долл., третьего - 75,13, четвертого - 68,30 долл. Текущая стоимость всего четырехлетнего аннуитета составляет 316,98 долл. (90,91 долл. + 82,64 долл. + 75,13 долл. + 68,30 долл.). Поэтому при 10%-ной ставке сегодняшние инвестиции в 316,98 долл. (текущая стоимость) являются обоснованной платой за право ежегодного получения 100,00 долл. На протяжении последующих четырех лет.

Предварительно рассчитанные таблицы. Широкое и интенсивное использование фактора текущей стоимости аннуитета привело к построению соответствующих таблиц. Данные таблицы показывают факторы с учетом того, что каждый платеж за период равен 1 долл. Это факторы аннуитета (annuity factors), или факторы Инвуда (Inwood factors), по имени Уильяма Инвуда (1771-1843). Во многих таблицах сложного процента они показаны в колонке 5.

Фактор Инвуда рассчитывается по следующей формуле:

Фактор текущей стоимости аннуитета может быть также рассчитан как сумма текущих стоимостей в 1 долл. За определенный временной период

Для построения аннуитетной таблицы следует просто сложить факторы текущей стоимости единицы за соответствующее число лет, как это показано в табл. 2.2.

ТАБЛИЦА 2.2

Соотношение текущей стоимости единицы и текущей стоимости аннуитета (ставка * 10%)