Контакты
Главная / Заявления

Определяем в MS EXCEL Приведенную (Текущую) стоимость. Аннуитет


Аннуитет - это последовательность равных платежей, которые производятся через фиксированные интервалы времени на протяжении заданного срока. Например, выплата 100 долларов в конце каждого из трех последующих лет - это трехлетний аннуитет. Если платежи производятся в конце каждого периода, как это обычно и происходит, аннуитет называется обычным (ordinary), или отсроченным аннуитетом (постнумерандо, deferred annuity). Купонные платежи по облигациям, кредиты на покупку автомобилей, а также студенческие кредиты обычно устанавливаются в виде обычных аннуитетов. Если же платежи производятся в начале каждого периода, годовой взнос называется ускоренным аннуитетом (пренумерандо, annuity due). Платежи за аренду квартиры, премии по страхованию обычно представляют собой ускоренные аннуитеты. Поскольку обычные аннуитеты встречаются на практике чаще, то под термином «аннуитет», если не будет оговорено иное, мы будем понимать именно обычный аннуитет.
Обычные аннуитеты
Обычный (отсроченный, постнумерандо) аннуитет, состоит из ряда равных платежей, осуществляемых в конце каждого периода. Если бы вы клали по 100 долларов в конце каждого года в течение трех лет на депозит, приносящий 5% годовых, какова была бы сумма вашего счета через три года? Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны найти будущее значение аннуитета, FVAn. Отметим, что предполагается, что на каждый платеж, осуществленный в период п, производится начисление сложных процентов, начиная с периода п + 1.

Временной график:
О
5%
100 100 +100
I " V05

  1. > 110,25
Я/Л3=315,25
Здесь мы показываем, как каждая из выплат подлежит наращению сложного процента, а их сумма дает значение FVAn.
Найдем формулу для расчета будущей стоимости простого аннуитета:
FVAn = РМТ х (1 + /)""’ + РМТ х (1 + /)п~2+ ... + РМТ х (1 + /)° =
, + .у, (8.3)
= РМТ х?(1 +/")П",= РМТ х і "4 =РМТ х FVIVAl n.
t = 1 I
Первая строчка (8.3) представляет собой формулу (8.1), примененную к каждому отдельному платежу аннуитета. Другими словами, на каждый платеж начисляется сложный процент, а степень показывает число периодов, в течение которых производится это начисление. Например, поскольку первый платеж производится в конце года 1, проценты будут начислены в годы со 2 до /7, а степень будет равна п - 1, сложный процент второго платежа образуется в годы с 3 до л, или на протяжении /7-2 периодов, и т. д. Последний платеж совершается в конце срока аннуитета, поэтому начисление процентов уже не производится.
В дальнейшем в формуле (8.3) мы используем известную из школьного курса алгебры формулу суммы геометрической прогрессии.[C] Этот вид формулы (8.3) оказывается особенно полезным, если у вас под рукой нет финансового калькулятора. Наконец, в конце мы видим, что будущая стоимость аннуитета равна величине годового платежа, умноженной на множитель будущего значения обычного аннуитета (Future Value Interest Factor of an Annuity, FVIFAI n), который, в свою очередь, равен сумме геометрической погрессии.
  1. Численное решение
Применяя формулу (8.3), получаем, что будущая стоимость вклада, описанного выше, составит:
FVAn = 100 х (1.+ 0,05) ~1 = ЮО х 3,1525 = 315,25 доллара.
0,05

N
PV
\іиимииі
FV
2. Решение с использованием финансового калькулятора
Ввод 3 5 0 -100
і і і к і к
?

Вывод =315,25
Отметим что, поскольку начальный платеж отсутствует, мы вводим PV = 0.

д D Л D Е
ГА Процентная ставка 5%
- 		gt;
2, Время 0 1 2 3
З) Денежные потоки -100 -100 -100
4^ Будущее значение 315,25

Здесь снова можно использовать уже описанную ранее формулу Excel: БЗ(Норма; Число_периодов; Выплата; ПЗ; Тип) = Б3(5%; 3; -100; 0; 0).
Отметим, что параметр «Выплата» установлен отрицательным, а последний параметр формулы - «Тип» - равен нулю, поскольку мы рассматриваем обычный аннуитет.1
Ускоренный аннуитет
Если бы три платежа по 100 долларов, рассмотренные в предыдущем примере, производились в начале каждого года, то, как мы уже писали, аннуитет назывался бы ускоренным (пренумерандо). На временном графике каждый платеж сдвигался бы на период ранее, потому что на его сумму начислялись бы проценты за время на один год больше.
Временной график:
100 100 100
  1. 1 > 105
  1. > 110,25
  1. > 115,76
ЯЯз=331,01
Очевидно, что в данном случае сумма процентов больше, чем в предыдущем, и будущая стоимость аннуитета также оказывается больше:
FVA^=PMT х (1 + і)" + РМГ х (1 + iJ""+... + РМТ х (1 + /) =
(1+/У-1 lt;8*3а)
= РМТ X ^ j (1 + /)= РМТ X FVIVAln(1 + /)
  1. Численное решение

СО
С использованием формулы (8.3а) расчет будущей стоимости ускоренного аннуитета для нашего случая выглядел бы так:
FV/V, = 100 х 1 "°5"~ 1 х 1,05 = 100 х 3,1525 х 1,05 = 331,01 доллара.
0,05

  1. Решение с использованием финансового калькулятора
О применении финансовых калькуляторов для расчета формул ускоренного аннуитета следует сказать особо. Большинство из таких калькуляторов имеют специальные клавиши DUE или BEGIN для переключения с режима обычного на ускоренный аннуитет. Если нажата клавиша BEGIN, то на дисплее появляется слово ‘BEGIN*. В остальном мы действуем так же, как и предыдущем примере.
BEGIN
Ввод 3 5 0 -100

Вывод =331,01
Не забудьте после расчета ускоренного аннуитета вновь перевести свой калькулятор в обычный режим клавишей ‘END’\

  1. Решение с использованием электронной таблицы
В данном случае используйте ту же функцию FV, что и в случае обычного аннуитета, за исключением того, что параметр «Тип» вам нужно установить равным 1 - это будет означать, что мы имеем дело с ускоренным аннуитетом.
Вопросы для самоконтроля
Какова разница между обыкновенным и ускоренным аннуитетом?
Как изменится формула для будущего значения обычного аннуитета, если нужно рассчитать величину ускоренного?
Объясните, как можно использовать финансовые калькуляторы для решения задач по определению будущего значения аннуитетов.

Текущая стоимость единицы

Текущая стоимость единицы - это величина, обратная накопленной сумме единицы. Это сегодняшняя стоимость единицы, которая должна быть получена в будущем.

Процесс определения текущей стоимости единицы (его также называют дисконтированием; не путать с дисконтом - скидкой!) аналогичен процессу накопления дохода от процентов, но имеет обратную направленность во времени: от будущего к настоящему. То есть мы определяем, сколько нужно сегодня вложить в приносящий периодический доход от процентов актив, чтобы в конкретный момент времени в будущем получить заранее заданную сумму. При определении текущей стоимости ставку процента, по которой начисляется периодический доход, чаще называют ставкой дисконтирования.

Функция текущей стоимости единицы дает возможность определить стоимость суммы в данный момент, если известна ее величина в будущем, число периодов и ставка процента.

PV - текущая стоимость;

FV - будущая стоимость;

i - ставка процента (ставка дисконтирования)

n - число периодов начисления процентов

Фактор текущей стоимости единицы в таблице показан в колонке 4.

При FV =1, формула имеет вид


Данный рисунок иллюстрирует известную будущую стоимость FV=1 в момент времени n. Требуется определить неизвестную текущую стоимость PV в нулевой момент времени, то есть на сегодняшний день.

При 10%-ой ставке процента текущая стоимость 100.000 долл., ожидаемых к получению через год, равна?

100.000 *0,909091=90909,1

Проверка:

Если сегодня инвестор вкладывает 90909,1 долл. и в течение следующего года может получить чистый доход в 10%, т. е. 9090,91, то через год его капитал будет составлять 100.000 долл. (90909,1+9090,91)

Вопросы для контроля

3. Какую сумму следует сегодня депонировать в банке, начисляющем 12% годовых при ежемесячном накоплении, для того, чтобы через 4 года получить 10.000 долл.?

10.000 *0,62026=6202,6

4. Сколько надо положить на счет в банке под 20% годовых, чтобы через десять лет купить квартиру за 120.000 долл.?

120.000 *0,161506=19380,72

Текущая стоимость аннуитета

Аннуитет - это денежный поток, в котором равные суммы выплачиваются через одинаковые промежутки времени. Различают аннуитет обычный и авансовый. Обычный - возникает в конце периода начисления процентов, а авансовый - в начале.

Текущая стоимость обычного аннуитета при заданной ставке дисконтирования может быть рассчитана путем оценки каждого платежа в отдельности. При этом сумма каждого платежа умножается на соответствующий фактор текущей стоимости единицы. Текущая стоимость аннуитета обозначается а(n,i).


На рисунке показано как несколько аннуитетных платежей, по отдельности равных 1, преобразуются в неизвестную величину текущей стоимости аннуитета на нулевой момент времени.

Ежегодный платеж по аренде составляет 300.000 долл. Ставка дисконтирования равна 10%. Какова текущая стоимость платежей за пять лет?

Текущая стоимость аннуитета равна

300000*3,7908=1137240 долл.

Авансовый аннуитет

Для того, чтобы фактор обычного аннуитета превратить в фактор авансового аннуитета, необходимо взять фактор обычного аннуитета для потока доходов, укороченного на один период, и добавить к нему единицу. При добавлении единицы учитывается первое поступление, которое не следует дисконтировать. При сокращении потока на один период во внимание принимается текущая стоимость остальных платежей.

Пример: На протяжении четырех лет уплачивается арендная плата в сумме 3.000 долл. Платеж осуществляется в начале каждого года. Ставка дисконта равна 15%. Определить текущую стоимость арендных платежей.

Решение: 3000*(2,28323+1) = 9849,69 долл.

Вопросы для контроля

5. Какова текущая стоимость ипотечного кредита, предусматривающего выплату 1000 долл. в конце каждого года на протяжении 5 лет? Ставка дисконта равна 10%

Ответ: 1000*3,79079=3790,79

6. Ежемесячные платежи по аренде поступают в начале каждого месяца в размере 5000 долл. Приемлемая годовая ставка дисконта - 15%. Какова текущая стоимость платежей за 8 месяцев?

Ответ: 5000*(6,66273+1) = 38313,65

Использование двух факторов

Доход, ожидаемый от собственности, часто состоит из двух частей:

1. поток доходов от текущей деятельности;

2. единовременная сумма от перепродажи актива.

Оценка инвестиционной привлекательности требует в ряде случаев дифференциации ставок дисконта в зависимости от уровня риска тех или иных операций. Учет различий в уровне риска требует от оценщика использования соответствующих ставок дисконта.

Пример: Владелец бензоколонки предполагает в течение пяти лет получать ежегодный доход в сумме 30.000 долл. В конце пятого года он планирует продать бензоколонку за 100.000 долл.

Прогнозирование доходов от эксплуатации собственности имеет большую степень точности, чем прогнозирование цены продажи, поэтому ставки дисконта равны соответственно 10% и 15%.

Определить текущую стоимость совокупного дохода от бензоколонки.

1. Текущая стоимость потока дохода от эксплуатации

30.000 *3,79079=113.723,7 долл.

2. Текущая стоимость дохода от продажи

100.000 *0,49718 = 49.718 долл.

3. Текущая стоимость совокупного дохода

113.723 ,7 + 49.718 = 162.441,7 долл.

Потоки доходов от собственности могут увеличиваться или уменьшаться. Оценка повышающихся или снижающихся потоков доходов с использованием сложного процента может быть проведена различными путями.

Пример: Аренда магазина принесет его владельцу в течение первых трех лет ежегодный доход в 750.000 долл. В последующие пять лет доход составит 950.000 долл. в год. Определить текущую стоимость совокупного дохода, если ставка дисконта равна 10%.

Вариант №1

В данном случае текущая стоимость совокупного дохода равна текущей стоимости потока доходов в 750.000 долл. за первые три года и потока доходов в 950.000 долл. за последующие пять лет.

1. Рассчитаем текущую стоимость арендных платежей за первые три года.

750.000 *2,48685 = 1.865.137 долл.

2. Определим текущую стоимость арендной платы за последующие пять лет. Фактор текущей стоимости аннуитета в этом случае будет равен разности факторов, соответствующих рыночному и начальному периоду возникновения измененной суммы арендной платы по отношению к текущему, т. е. нулевому периоду. Повышенная аренда поступала с конца третьего по конец восьмого периода, следовательно в расчетах должны быть использованы факторы - 2,48685 и 5,33493.

950.000 *(5,33493-2,48685)=2.705.676 долл.

3. Суммарная текущая стоимость арендной платы

1.865.137 + 2.705.676 = 4.570.813 долл.

Вариант №2

арендная плата

Текущая стоимость суммарного потока доходов равна разности потока доходов в 950.000 долл., полученного за все восемь лет, и несуществующего потока доходов в 200.000 долл. (950-750) за первые три года.

1. Рассчитаем текущую стоимость дохода от аренды, исходя из предположения, что все 8 лет она составляла ежегодно 950 тыс. долл.

950.000 *5,33493 = 5.068.184 долл.

2. Рассчитаем текущую стоимость завышенной суммы аренды, которая существовала три года.

200.000 *2,48685 = 497.370 долл.

Текущая стоимость арендной платы за 8 лет составляет

5.068.184 - 497.370 = 4.570.814 долл.

Вариант №3

арендная плата

Этот вариант решения предполагает, что текущая стоимость совокупного дохода равна сумме дохода в 750.000 долл. за восемь лет и превышения в 200.000 долл., достигнутого в последние пять лет аренды.

1. Рассчитаем текущую стоимость доходов от аренды в 750.000 долл. за восемь лет.

750.000 *5,33485 = 4.001.137 долл.

2. Рассчитаем текущую стоимость дополнительного дохода от аренды, полученного за последние пять лет.

200.000 *(5,33485-2,48685) = 569.600 долл.

3. Текущая стоимость полученной арендной платы

4.001.137 + 569.600 = 4.570.737 долл.

Если полученные результаты имеют некоторые расхождения, то это является следствием округлений, допускаемых при расчетах.

Инвестирование денежных средств в различные программы, создание денежных фондов целевого назначения, погашение банковской задолженности и т. п предусматривают выплаты будут осуществляться через определенные промежутки времени. При этом возникает ряд последовательных платежей, которые называют потоком платежей.

Ряд последовательных фиксированных платежей , которые осуществляются через равные промежутки времени, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).

Теория аннуитетов является важной частью финансовой математики. Различают два основных типы рент:

- безусловные ренты - ренты с фиксированным сроком, то есть даты первой и последней выплаты определены до начала ренты;

- условные ренты - ренты, в которых дата первой и последней выплат зависит от определенного события.

Они могут осуществляться или в конце, или в начале каждого периода. В соответствии с этим различают два виды аннуитетов (рент): - обычный (отложенный, постнумерандо) - платежи осуществляются в конце каждого периода;

предварительный (авансовый, вексельный, пренумерандо) - платежи или выписка счетов осуществляются в начале каждого периода. Аннуитет может быть выходным денежным потоком предпринимателя (осуществление периодических равновеликих взносов на счет банковского учреждения) или входным денежным

потоком (поступление арендной платы, которая обычно устанавливается одинаковой фиксированной суммой).

Обобщающими показателями аннуитета является его будущая и настоящая стоимость.

Пусть инвестор в течение определенного периода времени в конце каждого года получает платежи, которые не являются одинаковыми. Если он будут инвестировать сумму каждого платежа на время до окончания данного периода, то после его завершения получит некоторую сумму денег, которую называют будущей стоимостью потока платежей.

Будущая стоимость аннуитета - это сумма всех членов потоков платежей с начисленными на них процентами на конец периода, т. е. на дату последней выплаты. Она показывает, какую величину будет представлять капитал, который вкладывается через равные промежутки времени в течение всего срока аннуитета вместе с начисленными процентами.

Формула определение будущей стоимости обычного аннуитета (на конец года) такова:

где РУ4 - общая будущая стоимость аннуитета на конец определенного периода; А - аннуитетные платежи;

Определение будущей стоимости аннуитетов с помощью таблиц (Приложение В) предполагает использование фактора процента будущей стоимости аннуитетов (РУІГЛ) за п периодов с г процентной ставке:

где РУ№А - аннуитетный фактор, или процентный фактор будущей стоимости аннуитета (Приложение В).

В того, чтобы вычислить будущую стоимость аннуитетов с помощью таблиц, используется формула 4. 25:

Следует обратить внимание, что формула (4.25) касается обычного (отсроченного) аннуитета (ренты).

Пример . Определите общую будущую стоимость платежей аннуитета на сумму $100, который платится раз в год в течение четырех лет. Возьмите сложный процент 10%.

Определить общую будущую стоимость этих последовательных платежей не трудно. Достаточно суммировать факторы будущей стоимости за каждый год, в котором выплачивается аннуитет.

За таблицей будущей стоимости, фактор аннуитета за 4 года по 10% сложного процента являются: 1,000 + 1,100 + 1,210 + 1,33, или 4,641. Через 4 года ежегодный платеж $100 будет стоить $ 100*4,641, или $464,10.

Используя данные из нашего примера, определим фактор 4-летнего аннуитета. Он составляет 4,641.

Однако, если имеет место авансовый аннуитет (рента), порядок количественной оценки будущей стоимости денежного потока несколько изменяется.

Необходимость корректировки финансово-математической модели оценки отсроченной ренты обусловлена различиями в порядке движения денежных средств, что наглядно можно увидеть в таблице. Так, для обычного аннуитета денежные потоки возникают по окончании первого интервала периода, который анализируется (именно поэтому обычный аннуитет часто называют отсроченным).

Для авансового аннуитета характерным является движение денежных средств уже начиная с первого интервала планового периода. Упомянутые различия обусловливают разницу между отсроченным и авансовым аннуитетом на один интервал, что и заложено в финансово-математическая модель оценки будущей стоимости авансового аннуитета.

Для расчета будущей стоимости авансового аннуитета (на начало года) применяется формула 4.26:

Пример . Определить будущую стоимость аннуитета, если ежегодный взнос составляет 6000 игры. в течение пяти лет, а процентная ставка -16%. Сравнить аннуитеты по условиям осуществления взносов на начало и в конце года.

Когда финансовые менеджеры стоят перед тем, что в будущем постоянно, регулярно будут поступать деньги и им надо определить настоящую стоимость тех поступлений, они могут сделать две вещи:

1) вычислить приведенную стоимость поступлений за каждый год, используя соответствующие факторы. Но это долгое и хлопотное дело;

2) вычислить приведенную стоимость аннуитета, используя факторы текущей стоимости аннуитета. Это более короткий и простой путь.

Вспомните, как мы рассматривали будущую стоимость аннуитетов и отмечали, что факторы стоимости аннуитетов - это сумма факторов будущей стоимости. Тот же принцип применяется, когда определяется приведенная стоимость аннуитетов для серии одинаковых поступлений будущих денежных потоков. Все, что нужно сделать, это сложить факторы текущей стоимости за определенный период умножить полученный общий аннуитетный фактор на денежный поток за любой год.

Математическое уравнение для определение настоящей стоимости аннуитета такое:

где РУКІ"А - настоящая стоимость аннуитета; А - сумма аннуитета;

г ставка дисконта (выраженная десятичной дробью); п количество лет или периодов;

РУІРА- процентный фактор настоящей стоимости аннуитета (показатель аннуитетов за п - ну количество периодов, дисконтова ный на г процента)(Приложение Г).

В финансовых таблицах суммируются факторы текущей стоимости (Приложение Г). В таблице приведены процентные факторы текущей стоимости аннуитетов - (PVIF.) Present Value Interest Factor Annuities, в результате чего таблица достаточно легко читается.

Пример . Скажем, вы хотите купить акцию А, что в течение 5 лет будет приносить доход в $1,000, а также акцию Б, которая ежегодно в течение 5 лет будет давать дохіду $1,025. Вас интересует, в какие акции лучше вложить деньги. Эксперт, который производит оценку ценных бумаг, говорит, что акции имеют дисконтуватись под 10%. а акции Б под 12%.

Чтобы сравнить нынешнюю стоимость аннуитетов этих акций, достаточно найти в таблице соответствующие значения процентных факторов текущей стоимости аннуитетов. По 10% на 5 лет фактор имеет значение 3,7908, по 12% соответственно 3,6048. Имея значения этих факторов, можно подсчитать приведенную стоимость обеих акций:

PV акции А = $1,000x3,791 * $3,791

PV Бы акции - $ 1,025x3,605 = $3,695

После дисконтирования аннуитетов, или денежных доходов, от этих акций становится очевидным, что акция Бы, доход которой ниже, чем от акции А, менее привлекательна, учитывая соотношение риска и дохода.

Финансово-математическая модель определения настоящей стоимости аннуитетов применяется для вычисления постоянных равных выплат по погашению кредита, арендных платежей за пользование активами предприятия, для сравнения настоящей стоимости ценных бумаг, которые дисконтируются под разные процентные ставки и приносят владельцу определенный ежегодный доход, для определения суммы, которую необходимо положить на депозит при условии изъятия со счета каждого года одинаковой суммы денег.

Итак, формула (4.24) касается обычного (отсроченного) аннуитета (ренты). Однако, если имеет место авансовая рента, порядок расчета приведенной стоимости денежного потока несколько изменяется.

Необходимость корректировки отсроченной ренты обусловлена различиями в порядке движения денежных средств. Для обычного аннуитета денежные потоки, стоимость которых оценивается, возникают по окончании первого интервала анализируемого периода (поэтому обычный аннуитет называют также отсроченным). Для авансового аннуитета характерным является движение денежных средств уже в начале первого интервала планового периода. Перечисленные особенности обусловливают различие между отсроченным и авансовым аннуитетом на один интервал, что и отражает формула оценки приведенной стоимости авансового аннуитета (на начало года):

Пример . Определить приведенную стоимость аннуитета, если периодические поступления в течение четырех лет составляют 8000 грн., а процентная ставка - 16%. Сравнить стоимость аннуитетов при условии поступления средств в начале и в конце года.

авансового аннуитета каждый период дисконтируется одной выплатой. Поскольку выплаты выполняются быстрее, такая рента имеет большую стоимость, чем обычная. Значение авансовой ренты может быть рассчитано умножением показателя РУ обычной ренты на (И + г).

Таким образом в данной теме рассмотрены основные финансово-математические модели, которые могут быть применены для оценки стоимости денег во времени и определение на этой основе доходности различных инвестиционных проектов и выбора из них оптимального.

Однако, применяя математический аппарат для вбору того или иного варианта вложения денежных средств, финансовый менеджер должен также учитывать обстоятельства субъективного характера, которые невозможно формализовать в ту или иную финансово-математическую модель: источники возникновения первоначального капитала; репутация фирмы, в которой инвестируются средства; экономическая и политическая стабильность в стране и др.

ГЛОССАРИЙ

Стоимость денег - количество товаров и услуг, которые можно обменять на единицу денег; покупательная способность единицы денег; величина, обратная уровню цен.

Текущая стоимость будущих денежных потоков (РV) -сумма будущих денежных поступлений, возведенных с учетом определенной процентной ставки (так называемой "скидки") до настоящего периода с поправкой на риск;

Будущая стоимость денег (FV) - сумма инвестированных в настоящий момент средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента.

Процентная ставка - это отношение суммы дохода, выплаченного за фиксированный интервал времени, к величине займа.

Ставка дисконтирования - это процентная ставка, используемая для приведения будущих поступлений (денежных потоков и прибыли) к настоящей стоимости.

Дисконтирование - это нахождение начальной или текущей суммы долга (РУ) по известной конечной сумме.(РУ), которую нужно отдать через некоторое время (п).

Простое компаундирования (наращивание) (single compounding) - финансово-математическая модель расчета стоимости имеющихся денежных ресурсов, или теперешних денежных потоков, использование которых в течение четко определенного периода, как ожидается, даст возможность получить соответствующий экономический эффект в будущем.

Простой процент - начисления по текущей стоимости вклада в конце одного периода платежа, обусловленного условиями инвестирования (месяц, квартал и тому подобное).

Сложный процент - сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

Аннуитет - это серия вкладов или выплат равных сумм, которые осуществляются через определенные интервалы или определенное количество периодов.

Аннуитет - это термин, который имеет несколько различных значений. В самой широкой трактовке его можно представить как некий инструмент, который служит для осуществления финансовой деятельности.

Несколько значений аннуитета

Например, первое значение, которое имеет понятие аннуитета - один из видов государственных займов, причем срочных. Подобные займы могут быть размещены с условием, что выплата процентов будет происходить ежегодно, и при этом будет погашаться определенная часть займа.

В то же время аннуитет - это денежные платежи, равные между собой и выплачиваемые в счет погашения обязательств по займу и процентов по нему. Такие выплаты производятся через определенный временной промежуток.

Понятие аннуитета

Рассмотрим понятие аннуитета более детально.

Аннуитет, или, как его еще называют, финансовая рента, - это обобщенный термин, описывающий график, по которому происходит погашение какого-либо финансового инструмента, причем понятие аннуитета подразумевает выплату не только некоторой части по основному долгу, но также выплату вознаграждения - процентов за его использование. Основной особенностью аннуитета является то, что выплаты в этом случае равны друг другу и производятся через абсолютно равные временные промежутки. График аннуитета достаточно сложен. Он существенно отличается от графика, который отражает выплату положенной суммы в полном объеме и по окончании срока, в течение которого действовал инструмент, и от графика, отражающегося периодическую выплату только процентов и процесс погашения суммы в счет основного долга по окончании действия инструмента. Существует специальная формула аннуитета. Приведем ее ниже.

Таким образом, можно установить, что платеж аннуитетного типа по своей структуре состоит из двух частей: части, отражающей основной долг, и части, отражающей вознаграждение за использование кредитных средств.

Примеры аннуитета

В самом общем смысле под аннуитетом можно понимать не только непосредственно инструмент финансового характера, но и фактическую сумму платежа, имеющего определенную периодичность, и тип графика, который отражает процесс погашения.

  • Аннуитет - это государственный срочный заем определенного типа, по которому происходит ежегодная выплата некоторой части основного долга и проценты за использование самого займа.
  • Равные между собой денежные платежи, выплата которых предполагается через равные временные промежутки. Причем такие платежи включаются в себя сумму, идущую на погашение части основного долга, и сумму, идущую в счет уплаты процентов.
  • Понятие аннуитета используется и в страховании, в частности, при страховании жизни. В этом случае подразумевается договор, который физическое лицо заключает со страховой компанией. Подобный договор предоставляет физическому лицу право на получение регулярных выплат при наступлении ранее согласованного времени. Например, после выхода на пенсию.
  • График аннуитета можно использовать и для того, чтобы к определенному моменту накопить заданную денежную сумму. При этом предполагается внесение равнозначных вкладов на депозитный счет, по которому совершается начисление вознаграждения.

Виды аннуитетов

Аннуитеты можно классифицировать на два типа, в зависимости от времени, когда происходит выплата первого платежа:

  • Если выплата осуществляется по окончании первого периода, то такой аннуитет имеет название постнумерандо.
  • Если выплата осуществляется в самом начале первого периода, то такой аннуитет имеет название пренумерандо.

Все же чаще всего аннуитет - это определенный способ возвращения кредитных средств. Поэтому в данной статье сконцентрируемся именно на этом значении данного понятия.

На сегодняшний день лишь малая часть российских банков предпочитает использовать другую схему погашения займов. Использование метода аннуитета позволяет банку получать гарантированную прибыль. Связано это с тем, что аннуитетный график построен таким образом, что банку сначала возвращаются проценты за использование кредитных средств, и лишь потом происходит выплата кредитного тела, то есть суммы основного долга.

Формула аннуитета

Формула, по которой рассчитывается аннуитет, достаточно сложна. Ее запись имеет различные представления.

Одна из них: PI = (S * pr/12) / (1 - 1 / (1 + pr/12) N), в данной формуле:

  • Pl - представляет непосредственно сам аннуитетный платеж.
  • S - общая сумма кредитных средств.
  • Pr - используемая по кредиту процентная ставка или коэффициент аннуитета.
  • N - общее число периодов, в течение которых будет производиться погашение (чаще всего используются месяцы).

Ее функции

Стоит отметить, что на протяжении всего срока размер платежа не изменяется, но структура его значительно отличается от структуры другого, такого же платежа. Платеж, производимый в первый месяц погашения, преимущественно состоит из суммы процентов, а платежи, которые производятся к концу платежного срока, в основном состоят из суммы, идущей в счет погашения кредита. Так происходит управление денежными потоками.

Для того чтобы определить, какую структуру имеет определенный платеж, имеет смысл пользоваться именно этой формулой. Она наглядно отражает процентную часть, которая включена в него. Чтобы произвести этот расчет, необходимо взять остаток по сумме основного долга и умножить его на 1/12 часть годовой ставки по кредиту.

Пример, наглядно отражающий способ расчета аннуитета

Формула, которую мы привели выше, будет намного понятнее, если применить ее на практике, разобрав соответствующий пример.

Предположим, клиент банка оформляет получение кредита. Сумма кредита составляет сто тысяч рублей, срок предоставления - 12 месяцев, процентная ставка по кредиту в данном случае составляет 24 годовых процента. В соответствии с формулой можно рассчитать, какова будет текущая стоимость аннуитета:

(100000 * 0,24/12)/(1 - 1)/(1 + 0,24/12) 12 = 2000/0,2115 = 9457.

Таким образом, именно такую сумму, в размере 9457 рублей, ежемесячно клиент должен будет перечислять в банк для того, чтобы произвести погашение взятого кредита.

100000 * 0,24/12 = 2000.

Получается, что в составе первого платежа размером 9457 рублей только 2000 рублей пойдут в счет оплаты процентов по кредиту. Соответственно, сумма в размере 7457 пойдет в счет погашения основного долга.

После того как совершен первый платеж, сумма общей задолженности уменьшится и составит 92543 рубля:

100000 - 7457 = 92543.

Из этой суммы можно произвести расчет процентной части для следующего, второго, платежа по кредиту:

92543 * 0,24/12 = 1851.

Значит, во второй платеж включены проценты в сумме 1851 рубль и основной долг 5606 рублей.

Именно таким способом производится расчет для каждого платежа на весь срок кредитования.

Автоматический метод расчета платежей

Несомненно, производить подобные расчеты достаточно трудоемко. Формула для расчета аннуитета может пригодится лишь для того, чтобы разобраться в принципах его расчета. Что касается практики, то не имеет смысла считать платежи при помощи калькулятора. Современные технологии позволяют без проблем автоматизировать процесс расчета, что делает проще процесс управления денежными потоками.

Когда клиент оформляет кредит в банке, то специально для него сотрудник кредитной организации сделает распечатку, отражающую все данные аннуитетного графика. В нем будут отражены все необходимые данные: сумма платежа, даты, когда следует совершать платежи, а также структура платежа с отражением суммы процентов и суммы основного долга по каждому платежу.

Помимо этого, в интернете можно найти специальный калькулятор. Достаточно будет внести в соответствующие поля такие данные, как общая сумма кредита, его срок, ставка. После чего калькулятор мгновенно произведет соответствующий расчет аннуитета и отобразит всю интересующую информацию: размер платежа, который придется вносить каждый месяц, и приблизительный график по погашению займа.

Подобный расчет позволяет произвести и такая офисная программа, как Excel. В данной программе предусмотрена функция под названием ПЛТ - она поможет рассчитать размер аннуитета. Но, к сожалению, при таком методе расчета нельзя получить примерный график погашения.

Плюсы аннуитета

Метод аннуитета не всегда выгоден для клиента, хотя и удобен. При использовании аннуитета не будет возникать путаницы с размером платежа и сроком его внесения, ведь аннуитет всегда имеет фиксированную сумму платежей, которые должны вноситься ежемесячно. Этот метод позволит избежать необходимости каждый месяц обращаться в банк, для того чтобы его сотрудники произвели расчет очередного платежа.

Подобный способ удобен в том случае, если заемщик имеет доход невысокого уровня.

Альтернативная схема, которая называется дифференциальной, предполагает ежемесячный перерасчет суммы платежа. Это приходится делать потому, что при подобной схеме каждый месяц происходит уменьшение суммы основного долга, соответственно, и процентов за использование меньшей суммы приходится платить меньше. То есть каждый последующий платеж будет меньше предыдущего. Однако первые платежи при подобной схеме получаются очень высокими, а это может позволить себе не каждый заемщик.

Недостатки аннуитета

В течение первой половины срока, на который оформлен кредит, платеж в своей структуре содержит в основном проценты. Именно поэтому схема аннуитета очень выгодна для банков. Совершать погашение кредита досрочно лучше всего именно в первой половине срока, поскольку потом это не имеет практического смысла, ведь большая часть процентов уже выплачена. Погашение кредита досрочно во второй половине срока не принесет выгоды заемщику, так как денежные средства, внесенные в счет погашения процентов по кредиту возвращаться не будут.

Аннуитетные показатели


В том случае, если аннуитет рассматривать с точки зрения кредитора, а не заемщика, то необходимо производить оценку платежей для возможности анализа поступлений.

Мало кому могут пригодиться оценки такого рода в быту. Однако при анализе и сопоставлении текущих затрат и денежных поступлений, которые произойдут в будущем, они необходимы.

Существуют два основных показателя, при помощи которых производится оценка аннуитета. Это стоимость современная и будущая.

Будущая стоимость аннуитета представляет собой сумму абсолютно всех элементов, которые составляют аннуитет. Сюда же включаются и проценты, которые начисляются на конец срока. Элементы, или, как их еще называют, члены аннуитета, - это именно те равнозначные платежи.

Этот показатель может быть использован в случае, если требуется рассчитать сумму вклада (пополняемого), которую удастся накопить к определенному времени, если осуществлять регулярный вклад средств под определенную процентную ставку.

Современная (текущая) стоимость представляет собой совокупность аннуитетных элементов, которые уменьшены на тот момент, когда была начата его реализация. Этот показатель используется для оценки целесообразности осуществления инвестирования в определенный вклад, который должен приносить постоянный и регулярный доход. То есть эта оценка позволяет рассчитать, будут ли будущие доходы выше, чем цена самого актива.

Кстати, эту оценку можно использовать и для того, чтобы оценить, что будет выгоднее - совершить покупку в кредит или оплатить ее сразу.

Аннуитеты представляют собой наиболее сложные алгорит­мы начисления процента - предваритель­ным (пренумерандо) или последующим (постнумерандо).

1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) используется следую­щая формула:

где SA pre - будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на усло­виях предварительных платежей (пренумерандо);

R

i

п

Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных: период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет; интервал платежей по аннуитету составляет один год (пла­тежи вносятся в начале года);сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) со­ставляет 1000 усл. ден. eд.; используемая для наращения стоимости процентная став­ка составляет 10% в год (0,1).

будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на усло­виях предварительных платежей (пренумерандо), равна:

2. При расчете будущей стоимости аннуитета, осуще­ствляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо),

где SA post - будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо);

R - член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

i - используемая процентная ставка, выраженная десятич­ной дробью;

п - количество интервалов, по которым осуществляется каж­дый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на усло­виях последующих платежей (постнумерандо), равна:

Сопоставление результатов расчета по двум приме­рам показывает, что будущая стоимость аннуитета, осу­ществляемого на условиях предварительных платежей, су­щественно превышает будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае плательщику обеспечена гораздо большая сумма дохода.

3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуще­ствляемого на условиях предварительных платежей (пренумеран­до),

где РА pre - настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо);

R - член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

i

п

период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет;

интервал платежей по аннуитету составляет один год (при внесении платежей в начале года);

сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) со­ставляет 1000 усл. ден. eд.;

используемая для дисконтирования стоимости ставка про­цента (дисконтная ставка) составляет 10% в год (0,1).

Подставляя эти значения в приведенную формулу, по­лучим:

настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), равна:

4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуще­ствляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:

где PA post - настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо);

R - член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

i - используемая процентная (дисконтная) ставка, выра­женная десятичной дробью;

п - количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде вре­мени.

Подставляя эти данные в приведенную формулу, по­лучим:

настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), равна:

Сопоставление результатов расчета по двум послед­ним примерам показывает, что настоящая стоимость ан­нуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей, существенно превышает настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих пла­тежей, т.е. в первом случае в процессе дисконтирования плательщику гарантирована гораздо большая сумма дохо­да в настоящей стоимости,

5. При расчете размера отдельного платежа при заданной будущей стоимости аннуитета используется следующая формула:

где R - размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуите­та при предопределенной будущей его стоимости);

SA post - будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на усло­виях последующих платежей);

i - используемая процентная ставка, выраженная десятич­ной дробью;

п

6. При расчете размера отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета используется такая формула:

где R - размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуите­та при известной текущей его стоимости);

PA post

i - используемая процентная ставка, выраженная десятич­ной дробью;

п - количество интервалов, по которым намечается осуще­ствлять каждый платеж, в обусловленном периоде вре­мени.

В процессе расчета аннуитета возможно использование упро­щенных формул, основу которых составляет только член аннуитета (размер отдельного платежа) и соответствующий стандартный мно­житель (коэффициент) его наращения или дисконтирования.

В этом случае формула для определения будущей стоимости аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей), имеет вид:

SA post = R × l A ,

где SA post - будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

R - член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

l A - множитель наращения стоимости аннуитета, определя­емый по специальным таблицам, о учетом принятой процентной ставки и количества интервалов в перио­де платежей.

Соответственно, формула для определения настоящей стоимо­сти аннуитета имеет вид:

PA post = R × D A ,

где PA post - настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

R - член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

D A - дисконтный множитель аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной (дисконтной) ставки и количества интервалов в пери­оде платежей.

Использование стандартных множителей (коэффициентов) на­ращения и дисконтирования стоимости существенно ускоряет и об­легчает процесс оценки стоимости денег во времени.

Финансовое прогнозирование и планирование деятельности предприятий

Прогнозирование финансов служит основой последующей разработки долгосрочных и краткосрочных финансовых планов, а так же основой составления общего и финансового бюджетов.

Основные этапы финансового прогнозирования:

1. Разработка прогноза, спроса и выручки от реализации.

2. Прогноз инвестиций, достаточных для получения прогнозной выручки от реализации продукции.

3. Разработка прогноза переменных и постоянных затрат.

4. Прогнозирование объема и источников внешнего финансирования.

Целью финансового прогнозирования является определение ожидаемых финансовых результатов от деятельности компании в предстоящий период и потребности в финансировании. В литературе наряду с термином "финансовое прогнозирование" используется также термин "финансовое планирование".

Финансирование компании может осуществляться за счет как внутренних (прибыль, амортизация), так и внешних источников. Внутреннее финансирование производится в результате нормальной производственной деятельности компании, внешнее обусловлено капиталом, поступающим от инвесторов и банков.

При составлении финансового плана (прогноза) оцениваются результаты будущих коммерческих операций, приносящих доход, и связанные с ним расходы, что дает возможность заранее оценить потребность во внешнем финансировании.

Одним из методов планирования финансовых потребностей является метод процента от продаж , когда будущие расходы, активы и обязательства оцениваются на основе процента от предполагаемых продаж предстоящего периода. Получаемые таким образом данные используются для составления прогнозного балансового отчета. Превышение величины актива над пассивом (обязательствами и собственным капиталом) означает необходимость дополнительного внешнего финансирования

Метод процента от продаж является простым, но недостаточно точным, поскольку не учитывает возможного несовпадения будущих входящих и исходящих денежных потоков, что потребует дополнительного финансирования. Более точным будет метод составления сметы ожидаемых доходов и расходов (бюджета) компании.

Составление бюджета предприятия включает составление операционного, финансового и общего бюджетов, контроль и регулирование исполнения.

Бюджет содержит плановые значения доходов, расходов за определенный временной интервал и сумму капитала, необходимого для осуществления плановых целей.

Бюджеты различаются по своему назначению: бюджет производства, бюджет закупок и использования сырья, материалов – характеризует промежуточные операции; бюджет продаж, бюджет коммерческой себестоимости – содержит сведения о доходах или расходах; укрупненные бюджеты (бюджетный отчет о прибылях (убытках), бюджет денежных средств) – характеризуют доходы и расходы.

Основные функции бюджетов: планирование; коммуникация и координация (согласование целей и интересов подразделений); ориентация (определение целей производства); контроль.

Этапы разработки бюджета:

1. Разработка прогноза и бюджета продаж.

2. Расчет планового объема производства.

3. Планирование условно-переменных и условно-постоянных затрат на производство и реализацию продукции.

4. Анализ и планирование денежных потоков.

5. Составление финансовых отчетов.

Бюджеты всех видов составляются по формам, самостоятельно определенным предприятиями. Как правило, составляется общий бюджет с выделением операционного и финансового бюджетов.

Общий (основной) бюджет – план работы, координирующий деятельность подразделений и содержащий информацию для принятия решений в области финансового планирования.

Общий бюджет состоит из двух взаимосвязанных бюджетов: операционного и финансового . В свою очередь, операционный бюджет содержит:

Бюджет продаж . Содержит информацию о натуральных объемах реализации, ценах, выручке от реализации. Он служит источником информации для многих других бюджетов. Расчеты объема реализации осуществляются с помощью статистических методов, оптимизационных экономико-математических моделей и экспертных методов.

На основе бюджета продаж составляются: бюджеты производства; закупок и использования сырья и материалов; по труду; общецеховых расходов; бюджетный отчет о прибылях и убытках (с использованием бюджета коммерческой себестоимости) .

Названные бюджеты служат информационной базой составления бюджетов: общепроизводственных расходов, цеховой себестоимости, производственной себестоимости, коммерческих и административно-управленческих расходов.

По данным этого блока разрабатывается бюджет коммерческой себестоимости , служащий информационной базой для бюджетного отчета о прибылях и убытках. Последний служит информационной базой для бюджета движения денежных средств в составе финансового бюджета.

Для составления бюджетов в составе операционного бюджета необходимо: рассчитать объем затрат, составить калькуляции себестоимости по видам продукции и объемов реализации, определить нормативы общепроизводственных, коммерческих, административных расходов на планируемый период времени. Эта работа выполняется на крупных предприятиях при тесном взаимодействии работников планового отдела, производственно-технического отдела, отдела организации труда и заработной платы. В ней участвуют также специалисты цехов. Разработке плановых показателей должна предшествовать работа по комплексному анализу этих показателей в предшествующем периоде, а также их изменения во времени. Анализ проводится для выявления путей и резервов улучшения анализируемых показателей. На этой основе разрабатывается план мероприятий по повышению эффективности деятельности предприятия, служащий также информационной основой для разработки бюджета капитальных вложений.

Финансовый бюджет – определяет плановые объемы требующихся финансовых ресурсов, источники их получения и направление использования. В его составе разрабатывается бюджет движения денежных средств, бюджет капитальных вложений и в завершении составляется бюджетный бухгалтерский баланс.

В бюджете движения денежных средств определяются плановые объемы поступлений денежных средств и расходов их. При планировании важно синхронизировать поток поступлений и поток платежей так, чтобы недостаток денежных средств в какие-либо моменты времени не вызвал сбоев в производстве. В то же время временный избыток средств вызывает снижение эффективности их использования.