Исследование операций в экономике. Шпаргалка: Шпаргалка по Исследованию операций в экономике
Задача №1
Решить транспортную задачу по данным таблицы 1.
Таблица 1 - Исходные данные
В таблице 1 введены следующие обозначения:
Аi-запасы продукции на i-м пункте отправления (ПО);
Bj-заявки на продукцию от Bj пунктов назначения (ПН);
Cij-стоимость перевозки единицы продукции с i-го ПО в j-й ПН.
Сумма всех заявок должна быть равна сумме всех запасов. Общую стоимость перевозки обозначим Z.
Для сформированной задачи выполнить транспортную таблицу и применить к ней метод циклического переноса.
Решение задачи 1
Исходя из данных таблицы 1 исходная транспортная таблица имеет вид, представленный в таблице 2.
Таблица 2 Исходная транспортная таблица
|
Пункт отправления / Пункт назначения |
заявки на продукцию |
||||||
|
запасы продукции |
|||||||
Шаг 1: При заполнении таблицы учитывалось условие закрытости транспортной задачи, т.е. сумма всех заявок равна сумме всех запасов: общее число заявок = 87, общие запасы = 87. Задача является сбалансированной (закрытой).
Шаг 2: Начальное опорное решение находится методом минимальной стоимости.
Для этого запасы в Аi пунктов отправления распределяются в соответствии с заявками Bj пунктов назначения и заполняются клетки с минимальными стоимостями перевозок. При этом все запасы должны быть распределены в соответствии с заявками. Хij - количество перевозимого груза.
Опорный план, полученный методом минимальной стоимости
Вычислим затраты для этого опорного решения:
Zнач = C13 ? X13 + C14 ? X14 + C15 ? X15 + C25 ? X25 + C33 ? X33 + C41 ? X41 + C42 ? X42 +C44 ? X44 = 1 ? 2 + 6 ? 5 + 4 ? 4 + 27 ? 2 + 19 ? 1 + 14 ? 2 + 9 ? 13 + 7 ? 4 = 204.
Шаг 3: Проверим полученный опорный план на невырожденность. Количество заполненных клеток N должно удовлетворять условию N=n+m-1. В нашем случае N=8, n+m=5+4=9 , что удовлетворяет условию невырожденности плана.
Шаг 4: Проведем поэтапное улучшение начального решения, используя метод потенциалов. Для определения сомножителя опорного решения необходимо найти потенциалы заполненных клеток. Сумма потенциалов равна стоимости перевозок
Пусть a4 = 0. Тогда: a1 = 1; a2 = -1; a3 = 0; a4 = 0; b1 = 2; b2 = 3; b3 = 1; b4 = 4; b5 = 3.
Значение потенциалов записываем в таблицу рядом с Аi и Bj. Проверяем опорное решение на оптимальность для всех незаполненных клеток таблицы
a1 + b3 - c13 = 1 + 1 - 2 = 0 ? 0 a1 + b4 - c14 = 1 + 4 - 5 = 0 ? 0
a1 + b5 - c15 = 1 + 1 - 4 = -2 < 0 a2 + b5 - c25 = -1 + 3 - 2 = -4 < 0
a3 + b3 - c33 = 0 + 1 - 1 = 0 ? 0 a4 + b1 - c41 = 0 + 2 - 2 = 0 ? 0
a4 + b2 - c42 = 0 + 3 - 3 = 0 ? 0 a4 + b4 - c44 = 0 + 4 - 4 = 0 ? 0
Начальное опорное решение является оптимальным, т.к. нет положительных оценок. Значение целевой функции: Zопт=204.
2. Задача № 2
Соорудить траекторию движения ВС, соединяющую т. А и т. В. Затраты на перелет должны быть минимальны. Стоимость полета на каждом отрезке приведена внутри отрезка. Определить условное и безусловное оптимальные управления.
Решение задачи 2
Динамическое программирование специально приспособлено к так называемым многошаговым операциям.
Процесс динамического программирования разворачивается от конца (т.В) к началу (т.А) - условная оптимизация (условно оптимальное управление и условно минимальные затраты). Затем производится оптимизация от начала (т.А) к концу (т.В) - безусловная оптимизация (безусловно оптимальное управление и безусловно оптимальные затраты).
Для проведения условной оптимизации расстояние от А до В разделено в восточном направлении на 5 частей, а в северном - на 4 части. Тогда любой путь из А в В состоит из m = 4 + 5 = 9 отрезков, направленных на восток или на север. Процедуру условной оптимизации будем разворачивать в обратном направлении - от конца к началу. Прежде всего, произведем условную оптимизацию последнего, 9-го шага. Рассмотрим отдельно правый верхний угол нашей прямоугольной сетки. После 8-го шага мы можем быть в точке с затратами либо 7 (В1), либо 8 (В2). Перемещаемся в точку В1, из которой можно двигаться вниз (6 единиц), либо влево (5 единиц). Аналогичные операции проводятся по всем точкам, причем передвигаются в сторону, где затраты меньше. Условно минимальные затраты составили 47, что представлено в таблице 1.
Таблица 3 Процедура условной оптимизации
Затем проводиться безусловная оптимизация с движением из точки А в точку В, выбирая направления минимальной стоимости, что представлено в таблице 2, траектория, ведущая из А и В самым дешевым способом отмечена красным цветом.
Таблица 4 Безусловное оптимальное управление
3. Задача № 3
Определить комплексные показатели надежности нерезервированных средств связи. Исходные данные приведены в табл. 3.
Для решения задания 3 необходимо:
- - определить состояние средства;
- - написать систему линейных алгебраических уравнений;
- -установить взаимосвязь между финальными вероятностями и определить их количественные значения.
Таблица 5
Решение задачи 3
Наиболее простую структуру имеет нерезервированная система, состоящая из n элементов, у которой отказ одного из элементов приводит к отказу всей системы. В этом случае система S имеет логически последовательное соединение элементов (рисунок 1).
Схема логического соединения элементов нерезервированной системы
Нерезервированная восстанавливаемая система в произвольный момент времени находится в одном из двух состояний: работоспособном G0 или неработоспособном G1. Процесс ее функционирования можно отразить графом состояний (рисунок 2):
Граф состояний нерезервированной системы
Из состояния S0 в состояние S1 система переходит в результате отказов с интенсивностью л, а из S1 в S0 - в результате восстановления с интенсивностью µ. В дальнейшем будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими: л = const, µ = const. Это значит, что производительность труда ремонтника постоянна и не зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет экспоненциальный закон распределения
Одним из основных показателей надежности системы является ремонтопригодность - это степень приспособленности системы к предупреждению, обнаружению и устранению отказов. Ремонтопригодность системы можно оценить, например, средним значением времени устранения неисправности, другими словами, средним значением времени восстановления работоспособности после отказа TB.
В задаче TB = 1,5, следовательно µ = 1 / 1,5 ? 0,667.
Основным показателем надежности нерезервированной восстанавливаемой системы является коэффициент готовности Кг.
Для его определения рассмотрим работу системы на интервале времени (t,t+?t). Обозначим через P0(t), P0(t+?t) и P1(t),P1(t+?t) - вероятности того, что в момент времени t и t+?t система находится в состоянии S0 и S1. Тогда
P0(t)+P1(t)=1 и Kг=P0(t).
Обозначим также через P01(?t) и P10(?t) - условную вероятность того, что в момент времени t система находится или в состоянии S0 или в состоянии S1, а в момент времени t+?t или в состоянии S1 или в состоянии S0, т.е. за интервал времени?t произошел отказ (восстановление) системы.
Будем считать, что за время?t может произойти только один отказ или только одно восстановление. Тогда на интервале?t могут произойти четыре несовместимые события: A1(S0, S0) - в момент времени t система находилась в состоянии S0, в момент времени t+?t она осталась в том же состоянии, т.е. отказа не произошло;A2(S0, S1) - отказ произошел;A3(S1, S0) - восстановление произошло; A4(S1, S1) - восстановление не произошло.
Положим. Тогда получим систему дифференциальных уравнений
которая дополняется условием P0(t)+P1(t).
Решение системы при начальных условиях P0(t)=1 и P1(t)=0, т.е. в начальный момент времени система работоспособна, имеет вид
Если в начальный момент времени система неработоспособна, то P0(0)=0, P1(0)=1 и решение системы имеет вид
При независимо от начального состояния системы (S0 или S1) вероятности Po(t)=Kг, P1(t) стремятся к постоянным значениям
Это означает, что при экспоненциальных законах распределения времени наработки на отказ и времени восстановления, случайный процесс работы восстанавливаемой системы стабилизируется, и вероятность застать систему работоспособной в произвольный момент времени остается постоянной. Учитывая, что данный процесс является марковским, в системе дифференциальных уравнений при можно положить
и получить систему линейных алгебраических уравнений, откуда непосредственно находятся P0=Kг и P1:
Для нашего случая нам известно значение µ ? 0,667.
Откуда можно определить значение л (по формуле
Зная значения л и µ из последней системы уравнений можно определить финальные вероятности Р0 и Р1, которые равны 0,9995 и 0,0005 соответственно.
4. Задача № 4
Определить показатели надежности резервированных средств связи. Исходные данные приведены в табл. 4.
Для решения задачи 4 необходимо:
- - определить состояние резервированной системы;
- - построить размеченный граф состояний;
- - написать систему линейных алгебраических уравнений Колмогорова;
- - установить взаимосвязь между финальными вероятностями и определить их количественные значения;
- - определить показатели надежности (среднее время безотказной работы и коэффициент готовности резервированной системы).
транспортный затрата нерезервированный алгебраический
Таблица 6
Решение задачи 4
В резервированной системе отказ какого-либо элемента не обязательно приводит к отказу всей системы. Типичным случаем является логически параллельное соединение элементов (рисунок 1), при котором система отказывает тогда, когда отказывают все ее элементы. Такой тип резервирования называют постоянным или нагруженным (m-1)-кратным резервированием. В этом случае все элементы выполняют одну и ту же функцию, работают одновременно и равнонадежны.
Схема логического соединения элементов резервированной системы
Резервированная восстанавливаемая система описывается графом состояний (рисyнок 2).
Граф состояний резервированной системы
В отличие от нерезервированной системы резервированная система имеет 4 состояния: S0 - исправное; S1 - первый полукомплект работоспособен, а второй неисправен (ремонтируется); S2 - второй полукомплект работоспособен, а первый неисправен (ремонтируется); S3 - неработоспособное (оба комплекта ремонтируются).
С учетом условий задачи линейные алгебраические уравнения Колмогорова имеют вид:
- 2 · л · Р0 = µп · (Р1 + Р2) (1)
- (л+ µп) · Р1 = л · Р0 + µв · Р3 (2)
- (л+ µп)·Р2 = л · Р0 + µв · Р3 (3)
- 2 · µв · Р3 = л ·(Р1 + Р2) (4) ,
где л и µв - интенсивность отказа и восстановления;
µп - интенсивность переключения.
Система дополняется нормировочным уравнением
Р0+Р1+Р2+Р3=1. (5)
Из уравнений (2) и (3) видно, что Р1 = Р2. Тогда уравнение (1) запишется в виде:
Уравнение (4) имеет вид:
Уравнение (5) имеет вид:
Р0 = Т0 / (Т0 + 2Тп) = 3000 / (3000+2·45/3600) = 0,999991667.
Р1 = Р0 · Тп / Т0 = 0,999991667 · (45/3600) / 3000 = 0,00000417.
Р2 = Р0 · Тп / Т0 = 0,999991667 · (45/3600) / 3000 = 0,00000417.
Р3 = Р0 · ((Тп·Тв)/ Т0) = 0,999991667 · ((45/3600·1,5)/3000) = 0,00000625.
Определим среднее время безотказной работы резервированной системы:
Т01 = (Р0 · Тв) / (1- Р0) = (0,999991667 ·1,5) / (1 - 0,999991667) = 180 000 часов.
В вероятностной трактовке коэффициент готовности определяют по формуле:
где To - наработка на отказ (по условию задачи равна 3000),
TB - среднее время восстановления (по условию задачи равно 1,5).
Следовательно, коэффициент готовности равен Кг = 3000 / (3000 + 1,5) = 0,9995.
Список использованных источников
- 1. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология / Е.С.Вентцель. - М.: Наука, 1986.
- 2. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. Учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. - М.: ЮНИТИ, 2002.
- 3. Демидов Ю. М. Исследование операций. Пособие по выполнению контрольной работы.- М.: МГТУ ГА, 2010- 20 стр.
- 4. Волков И.K., Загоруйко Е.А. Исследование операций. Учебное пособие для вузов / под ред. B.C. Зарубина, A.П. Крищенко. - М.: Изд-во MГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.
- 5. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения. Учебное пособие / М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. - М.: ИНФРА-М, 2003.
Размещено на Аllbest.ru
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
Исследование операций в экономике
Введение
Графическое решение задач линейного программирования
Решение задач линейного программирования симплекс-методом
Транспортная задача
Задача о назначениях
Задача о ранце
Заключение
Литература
Введение
Успешная реализация достижений научно-технического прогресса в нашей стране тесным образом связана с использованием экономико-математических методов и средств вычислительной техники при решении задач из различных областей человеческой деятельности. Исключительно важное значение приобретает использование указанных методов и средств при решении экономических задач.
Управление и планирование являются наиболее сложными функциями администрации предприятий, менеджеров, руководителей хозяйственных органов и штабов различного уровня. Характер управления и планирования определяет путь достижения цели и оказывает существенное влияние на качество решения поставленной задачи. В современных условиях повышается ответственность за качество принимаемых управленческих решений. Несколько неудачных управленческих решений и предприятие вступает в стадию банкротства.
В настоящее время существует две группы методов принятия управленческих решений:
) логический (когда решение принимается на основании опыта, интуиции и других личностных качеств лица, принимающего решение);
) формально-логический или формализованный (когда решение принимается на основе изучения предварительно-построенной модели). При этом появляется возможность оценить последствия каждого из вариантов и выбрать наилучший по некоторому критерию. В этой группе методов важную роль играют экономико-математические модели.
Образ реальной действительности, в котором отражены характерные для изучаемого явления признаки или черты реального объекта (оригинала), именуют моделью, а сам процесс построения моделей называют моделированием.
Использование цифровых и знаковых символов позволяет создать категорию моделей, которая включает формально-логические и математические модели.
Любое управление в экономике связано с выработкой и принятием управленческих решений, воплощающихся в управленческие воздействия. Субъекты управления стремятся определить последствия определённого решения. Прежде чем осуществлять управляющее воздействие, принимать окончательное решение, желательно проверить его действенность, послед-ствия, результат. При этом фактически используются логические модели процессов управления, мысленные сценарии их протекания. Но возможности даже квалифицированного, опытного специалиста воспроизвести в своём мозгу картину поведения объекта управления под влиянием управляющих воздействий довольно ограничены. Приходится прибегать к помощи математических расчётов, дополняющих мысленные представления, иллюстрирующих ожидаемую картину управляемого процесса в виде цифр, кривых, графиков, таблиц. Использование математических методов при формировании представлений об экономических объектах и процессах в ходе экономического анализа, прогнозирования, планирования называют применением экономико-математических методов.
Наиболее распространённая форма, основной инструмент воплощения экономико-математических методов - это экономико-математическое моделирование. Математическое моделирование опирается на математическое описание моделируемого объекта (процесса) в виде формул, зависимостей с помощью математических символов, знаков.
Экономико-математическая модель представляет собой формализованное описание управляемого экономического объекта (процесса), включающее заранее заданные параметры, показатели и искомые неизвестные величины, характеризующие состояние объекта, его функционирование, объединённые между собой связями в виде математических зависимостей, соотношений, формул. Модель способна быть только аналогом моделируемой системы, отражающим основные, существенные свойства изучаемой управляемой системы, которые наиболее важны с позиций управления.
Благодаря моделированию субъект управления способен в ходе анализа иметь дело не с реальным объектом управления, а с его аналогом в виде модели. Это значительно расширяет возможности поиска лучших способов управления, не нарушая функционирования реального объекта управления в период выработки управленческих решений. Появляется возможность применить вычислительную технику, использовать компьютеры, для которых математический язык моделей является самым удобным. Благодаря компьютерам можно производить многовариантные модельные расчёты, что повышает шансы на отыскание лучших вариантов.
Для того чтобы принять обоснованное решение необходимо получить и обработать огромное количество информации. Ответственные управленческие решения зачастую связаны с судьбами людей, принимающих их, и с большими материальными ценностями. Но сейчас недостаточно указать путь, ведущий к достижению цели. Необходимо из всех возможных путей выбрать наиболее экономный, учитывающий особенности течения и развития управляемого процесса и наилучшим образом соответствующий поставленной задаче.
Процесс управления производственной системой представляет собой процесс принятия решений, что всегда связано с выбором из множества возможных решений, допускаемых обстоятельствами решаемой задачи, то есть имеется множественность имеющихся вариантов. Выбранное решение должно соответствовать некоторому критерию целесообразности. Этим объясняется связь задач принятия управленческих решений с методами теории оптимизации.
В процессе выработки решений приходится формализовать зависимость между отдельными элементами системы, применять математический аппарат, общие кибернетические принципы и закономерности, то есть использовать экономико-математические методы.
Известно, что экономический эффект от рациональных методов управления и планирования, применяемых в широких масштабах и на высоком уровне, способен в ряде случаев повысить эффект от существенного увеличения мощностей. Возникает потребность в новых математических методах, позволяющих анализировать ритм производства, взаимоотношения между людьми и между коллективами.
Математические машины, внедряемые в производство и управление и используемые в научно-исследовательской работе, создают огромные возможности для развития различных отраслей науки, для совершенствования методов планирования и автоматизации производства. Однако без строгих формулировок задач, без формально-математического описания процессов не может быть достигнут необходимый уровень использования техники. Возникают вопросы, связанные с формализацией физических, экономических, технических и других процессов. Формализация задачи - необходимый этап для перевода каждой прикладной экономической задачи на язык математических машин.
Для постановки задачи математического программирования необходимо сформулировать цель управления и указать ограничения на выбор параметров управления, обусловленные особенностями управляемого процесса. Задача математического программирования сводится к выбору системы параметров, обеспечивающей оптимальное (в заданном смысле) качество процесса управления в рамках сформулированных ограничений.
Всё вышесказанное доказывает необходимость применения экономико-математических методов и моделей в управлении для принятия обоснованных управленческих решений.
В данной курсовой работе даётся представление о возможностях практического использования математического программирования и экономико-математических методов при решении конкретных экономических задач.
.Графическое решение задач линейного программирования.
Решить графически задачу 4x1+x2 → max,
при следующих ограничениях:
x1+7x2≤140
x1+10x2≤150
x1+20x2≤100
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x1+x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x1+x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Область допустимых решений представляет собой многоугольник Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x1+7x2=140
x1+20x2=100
Решив систему уравнений, получим: x1 = 5.7534, x2 = 3.5616
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: (X) = 4*5.7534 + 1*3.5616 = 26.5753
2. Решение задач линейного программирования симплекс - методом.
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы. Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 5x1 + 5x2 + 11x3+9 при следующих условиях-ограничений.
При вычислениях значение Fc = 9 временно не учитываем. линейный программирование математический экономический x1 + x2 + x3 + x4≤0
x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4≤0
x1 + 5x2 + 10x3 + 15x4≤0
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме). В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7.
x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 0
x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 0
x1 + 5x2 + 10x3 + 15x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 0
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
11111007532010351015001 Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом. Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x5, x6, x7
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,0,0,0) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
БазисBx1x2x3x4x5x6x7x501111100x607532010x70351015001F(X0)0-5-5-110000
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. Итерация №0. Проверка критерия оптимальности. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. Определение новой базисной переменной. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Определение новой свободной переменной. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:(0: 1, 0: 3, 0: 10) = 0 Следовательно, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
БазисBx1x2x3x4x5x6x7minx5011111000x6075320100x703510150010F(X1)0-5-5-1100000
Пересчет симплекс-таблицы. Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x3.
Строка, соответствующая переменной x3 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1. В остальных клетках столбца x3 плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x3 и столбец x3.
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
Bx 1x 2x 3x 4x 5x 6x 70: 11: 11: 11: 11: 11: 10: 10: 10-(0 3):17-(1 3):15-(1 3):13-(1 3):12-(1 3):10-(1 3):11-(0 3):10-(0 3):10-(0 10):13-(1 10):15-(1 10):110-(1 10):115-(1 10):10-(1 10):10-(0 10):11-(0 10):10-(0 -11):1-5-(1 -11):1-5-(1 -11):1-11-(1 -11):10-(1 -11):10-(1 -11):10-(0 -11):10-(0 -11):1
Получаем новую симплекс-таблицу: