Контакты
Главная / Бухгалтерия и кадры

Где применяются функции сложного процента. Основы теории стоимости денег во времени

Вопрос 2. Шесть функций сложного процента.

Существуют две схемы начисления процентов.

Вопрос 1. Основные понятия и операции финансовой математики.

Известно, что в условиях инфляции куда более очевидно, что деньги изменяют свою стоимость с течением времени. По этой причине, для финансовой математики главным является, что деньги завтра - ϶ᴛᴏ деньги не сегодня. Под действием инфляции и дохода на капитал.

PV(P) – настоящая или текущая стоимость денежной единицы;

FV(S) – будущая стоимость денежной единицы;

n – число периодов (лет) на которые отстоит некоторый момент в будущем от момента сейчас;

i - ставка дохода;

PMT (R) - ϶ᴛᴏ единичный равновеликий, равнопериодичный платеж (поступление).(обычный аннуитет). Следует разобрать понятие аннуитет более подробно. Общий термин для понятия аннуитет - денежный поток (cash flow). (Киядзаки)

Выделяют:

I. Обычный аннуитет - ϶ᴛᴏ денежный поток или его вид обладающий тремя характеристиками:

1. Все элементы равновелики.

2. Поступают через равные промежутки.

3. Элементы CF поступают в конце каждого периода (нет в авансовом аннуитете).

II. Авансовый аннуитет - это аннуитет, платежи по которому реализуются в начале каждого периода.

Как же это связать с оценкой: Итак, для определœения стоимости собственности, приносящей доход, крайне важно определить текущую стоимость денег, которые будут получены через какое-то время в будущем.

Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.

Накопление - ϶ᴛᴏ финансовая операция по приведению стоимости денег в настоящий момент времени к стоимости денег в какой-то момент в будущем.

Дисконтирование - ϶ᴛᴏ финансовая операция по приведению стоимости денег в некоторый момент времени в будущем к стоимости денег в настоящий момент времени.

Основное свойство этих операций: Оба являются абсолютно взаимообратными финансовыми операциями.

1. Простые проценты.

FV n =PV(1+ni )

PV=1000р. i -10% FV1=1100 FV2=1200 FV3=1300

2. Сложные проценты.

FV n =PV(1+i ) n

PV=1000р. i -10% FV1=1100 FV2=1210 FV3=1331

Пример: Вы положили на счёт 100 р под 20% в год, на 17 лет. Какая сумма будет на счете в конце периода.

FV n =PV(1+i ) n = 100(1+0,2) 17 =2218,61

Всего рассматривают шесть функций денежной единицы, основанных на сложном проценте. Для упрощения расчетов разработаны таблицы шести функций для известных ставок дохода и периода накопления (i и n).

Таблица 1.1. Структура таблиц шести функций денег
№ колонки Колонка 1 Колонка 2 Колонка 3 Колонка 4 Колонка 5 Колонка 6
Функция денег Будущая стоимость единицы Накопление единицы за период Фактор фонда возмещения Текущая стоимость единицы Текущая стоимость аннуитета Взнос на амортизацию единицы
Формула
Задано: PV, i, n PMT, i, n FV, i, n FV, i, n PMT, i, n PV, i, n
Определить FV FV PMT PV PV PMT
Тип решаемых задач Будущая стоимость текущей денежной суммы Какой будет стоимость платежей к концу периода Норма погашения основной части кредита (of) Текущая стоимость денежной суммы, которая будет получена в будущем Текущая стоимость денежных платежей Регулярный периодический платеж по кредиту, включающий в проценты и выплату кредита (on + of)

Ежегодное и ежемесячное начисление процентов.

Функция 1 : используется в том случае, когда известна текущая стоимость денег и крайне важно определить будущую стоимость денежной единицы при известной ставке доходов на конец определœенного периода (n).

Правило ʼʼ72-хʼʼ: Для примерного определœения срока удвоения капитала (в годах) крайне важно 72 разделить на целочисленное значение годовой ставки дохода на капитал. Правило действует для ставок от 3 до 18%.

Пример 2.1: Определить, какая сумма будет накоплена на счете к концу 3-го года, в случае если сегодня положить на счет, приносящий 10% годовых, 10 000 рублей.

FV = 10000 [ (1+0,1) 3 ] = 13310

Функция 2: Накопление денежной единицы за период. В результате использования данной функции определяется будущая стоимость серии равновеликих периодических платежей (поступлений).

Пример 2.2: Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 12% годовых, к концу 5-го года, в случае если ежегодно откладывать на счёт 10 000 рублей.

10000 кол№2

Функция 3: Фактор фонда возмещения. Данная функция обратна функции накопления единицы за период. Фактор фонда возмещения показывает аннуитетный платеж, который крайне важно депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.

Функция 4: Текущая стоимость единицы (дисконтирование).

Функция 5: Текущая стоимость аннуитета.

Пример 2.3: Объект приносит по 1000$ каждый год в течении 15 лет. Определить рыночную стоимость (аренды ) объекта͵ если среднерыночная ставка доходности 10% годовых.

Функция 6: Взнос за амортизацию единицы. Функция является обратной величиной текущей стоимости аннуитета.

Другие примеры:

Пример 2.4 : Дополнение к задаче 2.3: Определить инвестиционную стоимость (аренды ) объекта и определить будет ли инвестор Семенов покупать данный объект. Доходность на инвестиции фонда Инвестора Семенова 14%.

PV = 1000 кол№5 = 1000*7,60608=7606,08$

Ответ: нет.

Количество участников конкурса "Лучший частный инвестор 2009" превысило 930 трейдеров. Рекорд доходность 6468,9% или 2,3 миллиона рублей с момента старта соревнования.

Пример 2.5: Вы взяли кредит 1000$ на 3 года под 10% годовых. а) какова величина ежегодного погасительного платежа. б) какова структура каждого платежа. в) какова структура выплат в целом за 3 года.

а) PMT = 1000 кол№6 = 1000*0,4021148=402,11$

Из 402: 102 - ϶ᴛᴏ выплаты процентов (on).

302 – норма возврата капитала (of).

В конце года осталось 698$ от тела кредита:

в) 206/1000=0,206 ᴛ.ᴇ. 20,6% ∑of=1000 ∑on=206

Вопрос 2. Шесть функций сложного процента. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Вопрос 2. Шесть функций сложного процента." 2017, 2018.

Л.О. Григорьева

Управление инвестициями

Учебный модуль

Улан-Удэ

Издательство ВСГТУ


введение………………………………………………………………….…………………………………
Тема 1. Понятие и классификация инвестиций………………………………………..…….
1.1. Понятие инвестиций и их классификация……………………………………...…………………….
1.2. Инвестиционный процесс и механизм инвестиционного рынка……………………….………….
1.3. Шесть функций сложного процента………………………………………………………………....
Тема 2. Экономические, правовые и организационные основы инвестиционной деятельности в РФ……………………..………………………....................
2.1 Нормативная база инвестиционной деятельности в РФ……………………………………………
2.2 Методы государственного регулирования инвестиционной деятельности……………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Тема 3. Источники финансирования инвестиционной деятельности………….
3.1 Классификация источников финансирования инвестиционной деятельности предприятия……
3.2 Основные методы финансирования инвестиционной деятельности………………………………
3.3 Анализ цены и структуры капитала………………………………………………………………….
3.4 Методы расчета потребности в инвестициях……………………………………………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Тема 4. Планирование инвестиций. Этапы составления бизнес-плана………..
4.1 Сущность и классификация инвестиционных проектов……………………………………………
4.2 Жизненный цикл инвестиционного проекта………………………………………………………..
4.3 Методика составления и структура бизнес-плана инвестиционного проекта…………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Тема 5. Оценка эффективности инвестиционного проекта…….…………………..
5.1 Основные аспекты оценки эффективности инвестиционных проектов………………………….
5.2 Оценка финансовой состоятельности инвестиционного проекта…………………………………
5.3 Оценка экономической эффективности инвестиционных проектов………………………………
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Задачи для практических занятий………………………………………………………………………….
Тема 6. Риск- менеджмент инвестиционного проекта ……………………………….
6.1 Сущность и классификация рисков инвестиционного проекта…………………………………..
6.2 Риск- менеджмент инвестиционного проекта……………………………………………………….
6.3 Методы оценки проектного риска…………………………………………………………................
6.4 Приемы по управлению рисками проекта……………………………………………………………
Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………..
Тесты…………………………………………………………………………………………………………..
Тема 7. Оценка инвестиционных качеств и эффективности финансовых инвестиций ………………………………………………………………………………………………
7.1. Расчет доходности по операциям с ценными бумагами…………………………………………….
7.2 Расчет будущего капитала в финансовых инвестициях…………………………………………….
7.3 Расчет курсовой стоимости ценных бумаг…………………………………………………………...
7.4 Особенности оценки инвестиций в вексельном обращении……………………………………….
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Задачи для практических занятий…………………………………………………………………………..
Тема 8. Формирование инвестиционного портфеля……………………………………
8.1 Понятие и виды инвестиционных портфелей………………………………………………………
8.2 Доходность портфеля…………………………………………………………………………………
8.3 Риск портфеля…………………………………………………………………………………………
Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….
Тесты………………………………………………………………………………………………………….
Задачи для практических занятий……………………………………………………………………………
ПриложениЕ1……………………………………………………………………………………………….
ПриложениЕ2……………………………………………………………………………………………….
Приложение 3………………………………………………………………………………………………

Тема 1. Инвестиции. Сущность инвестиционного процесса

Шесть функций сложного процента

Первая функция сложного процента – это фактор будущей стоимости текущего (сегодняшнего) капитала.

FV = PV*(1+i) n (1.4)

FV – это будущая стоимость текущего капитала (future value);

PV – текущая стоимость капитала (present value);

i – ставка процента;

n – количество периодов.

В каких случаях используется формула сложного процента:

Мы имеем какую-то сумму денег. Мы хотим положить ее в банк под определенный процент, на определенный срок (год, месяц, квартал). При этом мы хотим знать: сколько будут стоить наши деньги в конце срока вклада.

Пример. Допустим у нас есть 1 руб. и мы кладем его в начале года в банк, под 10% годовых на 5 лет. Сколько будет стоить этот руб. через 5 лет?

FV = 1 руб.*(1+10%) 5 = 1,61 руб.

Пример . Вы положили деньги в банк 1000 руб. под 24% годовых на 1 год. Аккумулирование (т.е. начисление %) происходит два раза в год по фиксированной годовой ставке. Надо определить периодическую ставку (i p), будущую стоимость текущего капитала (FV), величину дохода на капитал (Д) и фактическую годовую ставку (i ф).

Определим периодическую ставку, в данном случае – полугодовую: i p = i г /2 = 24% /2 =12%

Определим будущую стоимость текущего капитала: FV =1000(1+0,12) 2 = 1254,4 руб.

Определим величину дохода на капитал: Д = FV – PV = 1254,4 – 1000 = 254,4 руб.

Определим фактическую годовую ставку: i ф = (FV–PV)/PV=(1254,4–1000)/1000=0,2544=25%

Фактическая ставка включает начисленные сложные проценты, поэтому она всегда больше, чем номинальная ставка. Кроме того, чем больше периодов начисления процентов в году, тем эта разница будет существеннее.

Пример . Через сколько лет произойдет удвоение капитала, если известно, что годовая номинальная ставка, под которую положили деньги в банк равна 12%?

Решение этой задачки основано на использовании так называемого «правила 72-х». Согласно этому правилу, количество лет, через которое произойдет удвоение вложенной суммы, определяется по формуле: 72 / номинальная годовая ставка %

72 / 12% = 6 лет.

Правило дает удовлетворительный ответ при ставке, находящейся в диапазоне от 3 до 18%.

Вторая функция сложного процента – фактор будущей стоимости аннуитета.

Она предназначена для определения будущей стоимости равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же суму денег (РМТ) в течение какого-то времени(1,2,3 года и т.п.).

РМТ (payment ) – единовременный платеж в периоде k. (периоды одинаковые).

Серия таких платежей называется аннуитетом .

Различают обычный и авансовый аннуитет .

Будущая стоимость обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода). Его будущая стоимость выражается в формуле:

Пример . Чтобы накопить себе на автомобиль, вы решили откладывать в банк по 1000 $ каждый год при 12% годовых в течение 5 лет. Как лучше откладывать деньги (в конце или в начале года), чтобы получить через 5 лет большую сумму и сколько денег окажется на вашем счете через 5 лет?

Определим, сначала, сколько денег мы получим через 5 лет, если будем откладывать в конце каждого года:

Таким образом, получается, что вкладывать в начале каждого года гораздо выгоднее, чем в конце.

Третья функция сложного процента – фактор фонда возмещения.

Фактор фонда возмещения – это величина платежа, который необходимо депонировать (вкладывать) в каждом периоде при заданной ставке годового процента, чтобы в последнем периоде получить на счете определенную (желаемую) сумму. Т.е. допустим, мы хотим получить 1 миллион рублей через пять лет. Для этого можно положить деньги в банк. Нам известна величина банковского процента. Фактор фонда возмещения (ФФВ) определяет величину периодических равновеликих платежей, которые нам придется платить эти 5 лет. То есть ФФВ - это то же РМТ.

Различают Фактор Фонда Обычного Возмещения и Фактор Фонда Авансового Возмещения, в зависимости от того, когда (в конце или начале периода) производятся платежи.

Фактор Фонда Обычного Возмещения (платежи в конце каждого периода):

2-я и 3-я функции сложного процента взаимосвязаны между собой через формулы. 2-я функция – это определение FV, а 3-я – это определение PV.

Пример . Вы взяли у своего знакомого в долг и через 5 лет должны вернуть 1000$. Чтобы проще было расплатиться с долгами, вы решили откладывать деньги в банк каждый год. Банковская ставка также равна 15% годовых. Как выгоднее депонировать деньги – в начале года или в конце года? Какую сумму вы должны депонировать в банке, чтобы в конце 5-го года выплатить эту 1000$?

1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:

ФФОВ = _____15%___ *1000$ = 148 $
(1+15%) 5 - 1
  1. Фактор Фонда Авансового Возмещения:

2. Фактор Фонда Авансового Возмещения:

ФФАВ = ________1,25%__________ *10000$ = 111,5 $
(1+1,25%) 5*12+1 – (1+1,25%)

Каждый месяц вам выгоднее откладывать по 111,5 $.

Четвертая функция сложного процента – фактор текущей стоимости будущего капитала.

Текущая стоимость будущего капитала – это сегодняшняя стоимость капитала, который должен быть получен в будущем. Математически выразить текущую стоимость будущего капитала можно следующим образом:

PV = FV /(1+i) n (1.9)

Как вы заметили 4-я и 1-я функция сложного процента взаимосвязаны между собой одной формулой. 1-я функция определяет будущую стоимость текущего капитала.

Пример. Вы решили накопить 12000$. Эта сумма понадобится вам через 4 года. Сколько денег сегодня вы должны положить в банк под 10% годовых, чтобы через 4 года получить 12000$.

PV = 12000$ /(1+10%) 4 = 8196 $

Пятая функция сложного процента – фактор текущей стоимости аннуитета.

5-я функция предназначена для определения текущей стоимости (PV) равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же сумму денег (РМТ) в течение какого-то времени (1,2,3 года и т.д.) при известной норме прибыли (i ).

В этом смысле, 5-я функция несколько похожа на 2-ю функцию сложного процента, с той лишь разницей, что 2-я определяет FV.

Различают фактор текущей стоимости Обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода) и Авансового Аннуитета (платежи в начале каждого периода).

Текущая стоимость обычного аннуитета:

2. Если платежи будут производится в начале каждого года:

Авансовый взнос на амортизацию (платежи в начале периода):

2. Если платежи в начале года:

РМТн = 15000$*12%_____ = 3715$
(1+12%) – (1+12%) – (5 – 1)

Контрольные вопросы

1. Охарактеризуйте понятие инвестиций, приведите варианты их классификации.

2. В чем заключаются основные отличия между инвестициями и капитальными вложениями?

3. Что представляет собой инвестиционная деятельность, и из каких этапов она состоит?

4. Какие субъекты инвестиционной деятельности можно выделить? Их отличия и основные характеристики?

5. Объекты инвестиционной деятельности, их отличия и основные характеристики.

6. Реципиент, как субъект инвестиционной деятельности?

7. Какова структура инвестиционного рынка?

8. Какова структура инвестиционного рынка в России? Перечислить и охарактеризовать его составляющие.

1.1. Какие из приведенных ниже вложений в большинстве случаев не относятся к инвестициям?

а) приобретение иностранной валюты;

б) вложения в облигации на вторичном рынке;

в) вложения в депозитные сертификаты;

г) лизинговое финансирование;

д) вложения в акции на первичном рынке.

1.2. Основными целями инвестирования являются:

а) получение прибыли;

б) достижение социального эффекта;

в) накопление капитала

1.1. Прямые инвестиции предполагают:

а) привлечение финансовых посредников к реализации инвестиционных проектов;

б) использование внутренних источников финансирования инвестиций;

в) непосредственное участие инвестора в выборе объектов инвестирования и вложения капитала.

1.2. Какой из перечисленных ниже субъектов экономики не является участником (исполнителем) инвестиционной деятельности?

а) инвестор;

б) исполнитель;

в) проектировщик;

г) подрядчик;

д) страховое общество.

1.3. В какой сфере протекает инвестиционная деятельность?

б) обращения;

в) материального производства;

г) нематериального производства.

1.4. Инвестиционная деятельность коммерческих банков в сфере реального инвестирования имеет следующие формы:

а) инвестиционное кредитование;

б) инвестирование в ценные бумаги;

в) проектное финансирование;

г) долевое участие.

1.7. Какие из приведенных ниже элементов относятся к материальным элементам инвестиций?

а) коммуникации;

б) природные ресурсы;

в) вложения в человеческий капитал;

г) ценные бумаги;

д) патенты, лицензии.

1.8. Что лежит в основе деления инвестиций на реальные, финансовые и инвестиции в нематериальные активы?

а) объекты вложения инвестиций;

б) воспроизводственные формы;

в) стадии инвестиционного процесса;

г)субъекты инвестиционной деятельности.

1.9. Концепцию инвестиционного мультипликатора разработал:

а) Р.Ф. Кан;

б) Самуэльсон;

в) Дж. М. Кейнс.

1.10. Инвестиции в нематериальные активы - это:

а) вложения в торговые марки, товарные знаки, авторские права и т.д.;

б) затраты на приобретение объектов природопользования;

в) вложения в оборотные средства предприятия.

Задачи для практических занятий

Задача 1.1.

Рассчитайте ежегодный взнос для оплаты квартиры стоимостью 800 тыс. руб., купленной в рассрочку на 10 лет под 12%.

Задача 1.2.

Рассчитайте ежегодный взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.

Задача 1.3.

Рассчитайте взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.

Задача 1.4.

Квартира продана за 800 тыс. руб., деньги приносят 12% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет?

Задача 1.5.

Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 80 тыс. руб. под 12%?

Задача 1.6.

Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 12% годовых, если ежегодный взнос составляет 80 тыс. руб.?

  • В) Особенности основных психологических функций в интровертной установке.
  • В) Особенности основных психологических функций в экстравертной установке.

    • Теория стоимости денег во времени

    По теории стоимости денег во времени одна денежная единица сегодня стоит дороже, чем полученная в будущем.

    Весь период до появления будущих доходов денежная единица приносит прибыль или новую стоимость. Сумма денег приписываемая к определенному моменту времени называется денежными потоками. Основной операцией позволяющей сопоставить разновременные деньги являются операции накопления и дисконтирования.

    Накопление – это процесс определения будущей стоимости.

    Дисконтирование – это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

    На этих двух операциях строится весь финансовый анализ, так как денежная единица рассматривается как капитал.

    Задачи накопления наиболее наглядно показаны примерами из области кредитных отношений, при этом используется формула начисления сложного процента.

    Одним из основных критериев является процентная ставка (i ) – это отношение чистого дохода к вложенному капиталу. В случае операции накопления – эта ставка называется ставкой дохода на капитал. При дисконтировании называется ставкой дисконта или ставкой дисконтирования.

    Суммы денег, получаемые (отдаваемые) регулярно (ежемесячно, ежеквартально, ежегодно) называются аннуитетом - они бывают простые и авансовые, в зависимости от того, в конце или в начале периода они выплачиваются.

    Риск – это неопределенность, связанная с инвестициями, т. е. вероятность того, что прогнозируемые доходы от инвестиций окажутся больше или меньше предполагаемых величин.

    Финансовые расчеты могут основываться на простом и сложном проценте.

    Простой процент – приращение дохода на вложенную сумму денег по единой процентной ставке в течение всего срока.

    Сложный процент – приращение дохода на вложенную сумму денег по сумме остатка предыдущего периода времени в течение срока инвестиций или кредита.

    Расчет простого процента:

    Расчет сложного процента:

    FV = PV × (1+ i ) n (2)

    PV – текущая стоимость, руб (у.е.);

    FV – будущая стоимость, руб (у.е.);

    n – период (срок) вклада, лет (мес.).

    Таблица 1 - Получение простого и сложного процента

    Операции

    Получен процент

    Остаток на конец года

    Получен процент

    Остаток на конец года

    Получен процент

    Остаток на конец года

    Получен процент

    Остаток на конец года

    Получен процент

    Остаток на конец года

    Разница в расчетах по простому и сложному проценту заключается в том, что при простом проценте ставка начисляется каждый раз на первоначально – вложенный капитал, при сложном проценте каждое последующие начисление ставки осуществляется в предшествующий период суммы, т. е. идет начисления процента на процент.

    Правило 72-х :

    Применяется для примерного расчета количества лет, необходимых для увеличения денежной суммы в 2 раза:

    n =72 / i (3)

    Выделяют шесть функций сложного процента:

      Накопленная сумма денежной единицы

      Текущая стоимость единицы (реверсии)

      Накопление денежной единицы за период

      Фонд возмещения

      Взнос на амортизацию единицы

      Текущая стоимость аннуитета (платежа)

    Теперь рассмотрим каждую функцию по отдельности.

        Накопленная сумма денежной единицы

    Экономический смысл – показывает, какая сумма будет накоплена на счете к концу определенного периода при заданной ставке дохода, если сегодня положить на счет одну денежную единицу.

    При начислении процентов 1 раз в год:

    FV = PV × (1+ i ) n (4)

    При начислении процентов чаще, чем 1 раз в год:

    FV = PV × (1+ i / k ) n × k (5)

    i – ставка дисконта, %

    n – период (срок) вклада, лет (месяц)

    k – число начислений процентов в год

    (1+ i ) n – фактор накопленной суммы единицы при ежегодном начислении процентов

    (1+i/k) n * k – фактор накопленной суммы денежной единицы при начислении процентов чаще, чем раз в 1 год.

    Задача 1: Определить какая сумма будет накоплена на счете к концу 28,5 года, если сегодня положить на счет, приносящий 26 % годовых, 4450 руб. Начисление процентов осуществляется в конце каждого полугодия.

    FV = 4 450×(1+0,26/2) 28,5×2 = 4 718 796,94 руб.

        Текущая стоимость единицы

    Экономический смысл – показывает, какова при заданной ставке дисконта текущая стоимость одной денежной единицы, получаемой в конце определенного периода времени.

    Определяется по формулам:

    (6)

    (7)

    1/(1+ i ) n – фактор текущей стоимости единицы при ежегодном начислении процентов;

    1/(1+ i / k ) n × k – фактор текущей стоимости единицы при более частом, чем 1 раз в год начислении процентов.

    Задача 2: Определить текущую стоимость 3100 руб., которые будут получены в конце 9-го года при ставке дисконта 9%. Начисление процентов каждый день.

    PV= 3 100×1/(1+0,09/365) 9×365 = 1 379,20 руб

        Накопление денежной единицы за период

    Экономический смысл – показывает, какая сумма будет накоплена на счете при заданной ставке, если регулярно в течение определенного срока откладывать на счет одну денежную единицу.

    Будущая стоимость обычного аннуитета:

    (8)

    (9)

    Будущая стоимость авансового аннуитета:

    (10)

    (11)

    PMT – равновеликие периодические платежи, руб;

    ((1+ i ) n - 1) / i – фактор накопления денежной единицы за период

    Задача 3: Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 34 % годовых к концу 49 месяца, если ежемесячно откладывать на счет 6300 руб. платежи осуществляются: а) в начале месяца; б) в конце месяца.

    а)

    б)

        Формирование фонда возмещения

    Экономический смысл – показывает, сколько нужно откладывать на счет регулярно в течение определенного времени, чтобы при заданной ставке дохода иметь на счете к концу этого срока одну денежную единицу.

    Определяется по формулам:

    (12)

    (13)

    i / (1+ i ) n -1 – фактор фонда возмещения.

    Задача 4: Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу 9-го года иметь на счете, приносящем 8% годовых, 78 000 руб. платежи осуществляются: а) в конце каждого полугодия; б) в конце каждого квартала.

    а)

    б)

        Взнос на амортизацию

    Экономический смысл – показывает, какими должны быть аннуитетные платежи в счет погашения кредита в одну денежную единицу, выданного при заданной процентной ставке на определенный срок.

    Определяется по формулам:

    (14)

    (15)

    –фактор взноса на амортизацию;

    Задача 5: Кредит в размере 345 000 рублей выдан на 29 лет под 18% годовых. Определить размер аннуитетных платежей. Погашение кредита осуществляется в конце каждого месяца.

        Текущая стоимость аннуитета

    Экономический смысл – показывает, какова при заданной ставке дисконта текущая стоимость серии платежей в одну денежную единицу, поступающих в течение определенного срока.

    Определяется по формулам:

    1. Обычный аннуитет:

    (16)

    (17)

    2. Авансовый аннуитет:

    (18)

    (19)

    PV - настоящий платеж, руб;

    PMT - регулярный периодический платеж, руб;

    i – ставка дисконта, %;

    k - количество начислений в год (период);

    n – период (срок) вклада, лет (месяц);

    –фактор текущей стоимости обычного аннуитета;

    –фактор текущей стоимости авансового аннуитета

    Задача 6: Договор аренды квартиры составлен на 24 месяца. Определить текущую стоимость арендных платежей при 8% ставке дисконтирования. Арендная плата 2550 руб / мес. При условиях:

    а) Арендная плата выплачивается в начале квартала;

    б) Арендная плата выплачивается в конце каждого квартала.

    Решение:

    а)

    б)

    Сложные проценты применяют в тех случаях, когда процент по кредитам (ссудам) выплачивают не сразу, а его присоединя­ют к сумме долга с последующим определением наращенной суммы FV. Такая процедура начисления «процент на процент» называется капитализацией. Наращение идет по сложному про­центу в геометрической прогрессии, а процесс компаудинга (на­копления) описывается уравнением FV= PV(1+i) n

    В свя­зи с этим для расчета процентной суммы используется следую­щая формула:

    где i - годовая ставка;

    n - количество периодов начисления;

    m - число периодов начисления;

    n*m - общее число периода начисления.

    Когда интервалы между очередными платежами постоянны, то такую последовательность называют финансовой рентой или аннуитетом. Аннуитет (серия равновеликих платежей в течение n-периодов) называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода, и авансовым, если платежи осуществ­ляются в начале каждого периода.

    Первая функция сложного процента - аккумулированная сум­ма капитала. Мы уже убедились, что в отличие от простого про­цента сложный предполагает, что доход приносит не только пер­воначальная сумма, но и полученный ранее процент на нее. Для определения стоимости, которую будет иметь капитал через не­сколько лет FV при использовании процедуры сложных процен­тов, используют формулу, отражающую процесс аккумулирования (компаундинга), наращения в соответствии с геометрической про­грессией: FV= PV(1+i) n

    где FV- аккумулированная (будущая) сумма капитала;

    PV - текущая стоимость (стоимость инвестиций в начальный пери­од);

    i - ставка процента (например, i = 0,10, т.е. 10%);

    n - количество периодов начисления.

    Эта формула в финансово-экономических расчетах и опреде­ляет первую функцию сложного процента, а выражение (1+i) n называется множителем (коэффициентом) наращения или буду­щей стоимостью единицы аккумулированного капитала F 1: F 1 =(1+i) n

    где F 1 рассчитывается или определяется по таблице сложных процентов.

    Таким образом, процесс аккумулирования депонированно­го, или инвестированного, капитала есть процесс накопления денег по заданной ставке i в течение определенного периода времени п.

    При более частом, чем один раз в год, аккумулировании фак­тически полученный доход в конце года включает начисленные в году проценты. В связи с этим различают годовую номиналь­ную и годовую фактическую (эффективную) процентные ставки.

    Годовая фактическая ставка - это годовая ставка, учитыва­ющая начисленные сложные проценты. Расчет годовой факти­ческой ставки ведется как процентное отношение дохода к ка­питалу в конце года, к величине капитала в начале года; в прак­тике фактическую ставку называют эффективной.



    Вторая функция сложного процента - это будущая стоимость п-периодного аннуитета. Рассмотрим серию равновеликих и рав­номерных платежей (вкладов) под процент на определенное ко­личество периодов, при том что в каждом периоде производятся вклады капиталов (РМТ) одной и той же величины (серия вкла­дов - аннуитет). Этот поток платежей и есть аннуитет.

    Наращенная сумма ренты (n-периодного аннуитета) пред­ставляет собой сумму всех членов ренты с начисленными на них процентами к концу ее срока.

    Аннуитет называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода (рента пост- нумерандо), и авансовым, если платежи осуществляются в нача­ле каждого периода (рента пренумерандо).

    Наращенная сумма рен­ты n-периодного аннуитета будет равна:

    где (1 + i) n – 1/f = F 2 - вторая функция сложного процента.

    В финансовых расчетах последнее выражение также называ­ют фактором фонда накопления или будущей стоимостью п- периодного аннуитета с платежом в одну денежную единицу (см. таблицу сложных процентов Инвуда).

    В отличие от обычного аннуитета при авансовом аннуитете (пренумерандо) первый платеж осуществляется в начале перво­го периода, т. е. он приносит доход в течение всех n-периодов. Каждый последующий платеж работает на один период меньше, чем предыдущий, наконец, последний платеж приносит доход в течение только одного периода. Как и в случае обычного анну­итета, будущие стоимости каждого платежа образуют геометри­ческую прогрессию со знаменателем (1 + i), а первый член этой прогрессии - РМT(1 + i). Используя формулу расчета суммы и членов геометрической прогрессии, получим:

    В этом случае фактор фонда накопления F 2 (будущая сто­имость авансового аннуитета с платежом в одну денежную еди­ницу) будет равен:



    Третья функция сложного процента(обратная второй) - фак­тор фонда возмещения капитала. Из второй функции имеем:

    Где i/(1+i) n –1 = F 3 - фактор фонда возмещения, третья функция сложного

    процента.

    Коэффициент F 3 показывает денежную сумму, которую не­обходимо вносить в конце каждого периода для того, чтобы че­рез определенное число периодов остаток на счете составил одну денежную единицу; причем данный фактор учитывает получае­мый по взносам процент.

    Можно сравнить фактор фонда накопления F 2 и фактор фонда возмещения F 3 Видно, что функция F 3 при фиксированных n и i есть величина, обратная фактору фонда накопления F 2 т.е.

    Сравнивая фактор фонда накопления (будущую стоимость авансового аннуитета с платежом в одну единицу) и фактор аван­сового фонда возмещения, получим соотношение:

    Четвертая функция сложного процента (обратная первой) - это текущая стоимость будущего денежного потока, т.е. текущая стоимость денег (инвестиций), PV определится из выражения:

    Где 1/ (1+i) n = F 4 - четвертая функция сложного процента, текущая стоимость будущей единицы.

    Сравнивая полученную формулу с фактором первой функции, видим:

    Процесс пересчета будущей стоимости денежной суммы (по­тока денег); FV в настоящую называется дисконтированием, а ставка, по которой осуществляется дисконтирование, часто на­зывают ставкой дисконта.

    C по­мощью функции F. можно ответить на два вопроса:

    1. Сколько будет стоить сегодня сумма, которую получит ин­вестор через л-периодов?

    2. За сколько нужно купить объект (сколько нужно вложить в объект), чтобы в результате будущей его продажи через n-пе­риодов обеспечить требуемую норму дохода на?

    Пятая функция сложного процента - это текущая стоимость аннуитета. Как и предыдущая, данная функция связана с про­цессом дисконтирования. Пятая функция определяет текущую стоимость серии равномерных равновеликих поступлений де­нежных средств в течение n-периодов с учетом заданной суммы. Современная величина потока платежей PV - это сумма всех его членов (аннуитетов), уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на конкретный момент времени. Текущая стоимость может быть обычного аннуитета или аван­сового n-периодного аннуитета

    где PV - представляет собой сумму я членов геометрической прогрессии со знаменателем 1/1+i и первым членом PMT/1+c

    Отсюда, пользуясь известной формулой суммы членов гео­метрической прогрессии, получим уравнение:

    Где1 – (1+i) n / i= F 5 - пятая функция сложного процента, текущая стоимость " обычного аннуитета.

    Авансовый аннуитет построен таким образом, что первый пла­теж РМТ 1 в потоке доходов производится немедленно, а последу­ющие платежи - через равные промежутки времени. Так как РМТ 1 производится в начальный момент времени, дисконтировать его не нужно. Последующий же я - 1 платеж и другие дисконтируют­ся с учетом того, что k-й платеж производится через k - 1 перио­дов от начального момента.

    В данном случае сумма стоимости всех n-платежей - это

    геометрическая прогрессия со знаменателем 1/1+i и первым чле­ном PMT.

    Тогда текущая стоимость авансового аннуитета будет равна:

    Если РМТ = 1, то получим выражение для фактора текущей стоимости авансового аннуитета F " 5:

    Функции F 5 и F " 5 имеют особое значение в статистических расчетах, в оценке инвестиционных проектов, имущества, при­носящего доход.

    Шестая функция сложного процента (обратная к 5-й) в прак­тике экономико-финансовых вычислений имеет название ипо­течная постоянная, или размер платежей для покрытия долга. По известной текущей стоимости (размеру кредита) определя­ется размер платежей:

    Для PV = 1 получим значение взноса на амортизацию де­нежной единицы - это и есть шестая функция сложного про­цента - F 6 (ипотечная постоянная).

    Для обычных взносов (рента постнумерандо) шестая функ­ция имеет вид:

    Для авансовых взносов (рента пренумерандо) шестая функ­ция имеет вид:

    Каждый равновеликий взнос РМТ включает сумму процент­ных денег I nt и уплату первоначальной суммы PRN - суммы основного долга: РМТ=PRN +I nt

    Нужно подчеркнуть, что ипотечная постоянная функция F 6 связана с функцией F 3 следующим образом: F 6 =F 3 +i т.е. ипотечная постоянная - это взнос на амортизацию капита­ла, равный сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки про­цента на капитал i.

    Равномерно-аннуитетный метод возврата основных средств (метод Инвуда). Платежи РМТ идут в конце периода равными долями с увели­чивающимися размерами PRN возврата основной суммы долга и с уменьшающимися начислениями процентов i - доходов.

    Равномерно-прямолинейный метод (метод Ринга). Чистый операционный доход равномер­но снижается при постоянной норме возврата основного долга PRN, а доход I nt равномерно уменьшается. В отличие от метода Ринга метод Инвуда основан на том, что ипотечная постоянная равна сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки капитализации i.

    Шестая функция сложного процента широко применяется в экономическом обосновании лизинговых операций.

    Расчет исчисления реальной ценности (стоимости) денег основан на временной оценке денежных потоков, которая основана на следующем. Цена приобретения объекта недвижимости определяется, в конечном счете, величиной дохода, который инвестор предполагает получить в будущем. Однако покупка объекта недвижимости и получение доходов происхо¬дят в разные отрезки времени. Поэтому простое сопоставление величи¬ны затрат и доходов в той сумме, в которой они будут отражены в фи¬нансовой отчетности, невозможно (например, 10 млн. рублей готового дохода, полученные через 3 года, будут меньше этой суммы в настоящее время). Однако на стоимость денег оказывают влияние не только инфор¬мационные процессы, но и основное условие инвестирования - вло¬женные деньги должны приносить доход

    Приведение денежных сумм, возникающих в разное время, к сопо¬ставимому виду называется временной оценкой денежных потоков. В этих расчетов положен сложный процент, который означает, что вся основная сумма, находящаяся на депозите, должна приносить процент, включая процент, оставшийся на счете с предыдущих периодов

    Теория и практика использования функций слож¬ного процента базируется на ряде допущений: 1. Денежный поток, в котором суммы различаются по величине, называют денежным потоком

    2. Денежный поток, в котором все суммы равновелики, называют аннуитетом

    3. Суммы денежного потока возникают через одинаковые промежутки времени, называемые периодом

    4. Доход, получаемый на инвестированный капитал, из хозяйствен¬ного оборота не изымается, а присоединяется к основному капиталу

    5. Суммы денежного потока возникают в конце периода (в иных случаях требуется соответствующая корректировка)

    Рассмотрим подробнее шесть функций слож¬ного процента

    1. Накопленная сумма единицы

    Данная функция позволяет определить будущую стоимость имеющейся денежной суммы исходя их предполагаемой ставки периодичности дохо¬да, срока накопления и начисления процентов. Накопленная сумма еди¬ницы - базовая функция сложного процента, позволяющая определить будущую стоимость при заданном периоде, процентной ставке и извест¬ной сумме в будущем

    FV = PV * (1 + i)n Пример задачи: Получен кредит 150 млн. руб. сроком на 2 года, под 15% годовых; начисление % происходит ежеквартально. Определить наращенную сумму, подлежащую возврату. 2. Текущая стоимость единицы (фактор реверсии)

    Текущая стоимость единицы (ревер¬сии) дает возможность определить настоящую (текущую, приведенную) стоимость суммы, величина которой известна в будущем при заданном периоде процентной ставки. Это процесс, полностью обратный начисле¬нию сложного процента

    PV = FV / (1 + i)n Показывает текущую стоимость денежной суммы, которая должна быть единовременно получена в будущем

    Пример задачи: Какова текущая стоимость 1 000 долларов, полученных в конце пятого года при 10% годовых при годовом начислении процента? 3. Накопление единицы за период (будущая стоимость аннуитета) . Показывает, какой по истечении всего срока будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого из периодических интервалов, т.е. будущая стоимость аннуитета. (Аннуитет - это денежный поток, в котором все суммы равновелики и возникают через одинаковые промежутки времени)

    FVA = (1 + i)n – 1 i PMT Пример задачи: Определить будущую стоимость регулярных ежемесячных платежей величиной по 12000$ в течение 4 лет при ставке 11,5% и ежемесячном накоплении

    4. Текущая стоимость обычного аннуитета. Показывает текущую стоимость равномерного потока доходов, например, доходов, получаемых от сдаваемой в аренду собственности. Первое поступление происходит в конце первого периода; последующие - в конце каждого последующего периода

    PVA = PMT * 1 - (1 + i)-n i Пример задачи: Определить величину кредита, если известно что в его погашение ежегодно выплачивается по 30000 $ в течение 8 лет при ставке 15%. 5. Фактор фонда возмещения Показывает сумму равновеликого периодического взноса, который вместе с процентом необходим для того, чтобы к концу определенного периода накопить сумму, равную FVA. SFF = FVA * i (1 + i)n - 1 Пример задачи: Определить сумму, ежемесячно вносимую в банк под 15% годовых для покупки дома стоимостью 65000000$ через 7 лет. 6. Взнос на амортизацию единицы Показывает равновеликий периодический платеж, необходимый для полной амортизации кредита, т.е. позволяет определить размер платежа, необходимого для возврата кредита, включая процент и выплату основной суммы долга: PMT = PVA * i 1 - (1 + i)-n Пример задачи: Какими должны быть ежемесячные выплаты по самоамортизирующемуся кредиту в 200000 долларов, предоставленному на 15 лет при номинальной годовой ставке 12%? Тема 2. Рынок недвижимости и особенности его функционирования