Что такое эффективность Парето? Оптимальность по парето введение.

Эффективность Парето чаще всего применяется для обозначения такого состояния экономики, которое позволяет обществу извлекать максимально возможную полезность из всех имеющихся технологий и ресурсов. При этом увеличение доли любого участника рынка обязательно влечет за собой ухудшение положения других.

Немного истории

Для справедливости отметим, что «Парето эффективность» как концепция возникла отнюдь не на пустом месте. Еще в 1776 году всемирно известный англичанин Адам Смит говорил о существовании подразумевая под ней силу, которая постоянно направляет рынок к общему равновесию. Впоследствии эта идея была доработана итальянским экономистом В. Парето, который добавил в нее критерий оптимальности распределения ресурсов.

Понятие и применение

Формулировка этого правила достаточно проста: «Любое изменение или нововведение, которое не причиняет никому убытков, которое способно принести некоторым людям пользу (по их собственному мнению), следует считать улучшением». Эффективность Парето имеет очень широкий смысл. Этот критерий можно использовать для решения всевозможных задач оптимизации систем, в которых требуется улучшить одни показатели при условии, чтобы остальные не ухудшались. Кроме того, эффективность Парето часто применяется при композиционном подходе к планированию развития с учетом интересов составляющих их экономических объектов.

Отметим, что конечных оптимальных состояний может быть несколько, и если они удовлетворяют данное правило, то любое из них имеет право на существование. Все они составляют так называемое «множество Парето» или «множество оптимальных альтернатив». Поскольку формулировка критерия допускает любые изменения, не приносящие никому дополнительного ущерба, таких вариантов может быть довольно много, но в любом случае их число конечно. Ситуация, при которой получена эффективность Парето, это такое состояние системы, при котором все выгоды от обмена использованы.

80/20

При поиске оптимальных решений следует учитывать еще один закон, названный в честь итальянского экономиста. Его называют так: «правило 80/20». Этот пример которого встречается на каждом шагу, гласит: «80% результата приносят лишь 20% всех приложенных на его получение усилий, а остальные 80% трудов обеспечивают лишь 20% общего результата». Как это знание можно применить в жизни? Например, ощущается явная нехватка свободного времени (сейчас с этой ситуацией сталкивается практически каждый). Значит, следует выделить те 20% занятий, которые для нас действительно важны, и прекратить тратить свой досуг на 80% всякой ерунды. В торговле: большая часть продаж приходится на постоянных покупателей, а значит, нужно выстраивать длительные отношения с клиентами. Дома: 80% одежды мы надеваем лишь в 20% случаев - не пора ли навести порядок в гардеробе?

Если добавить к этому эффективность Парето, то можно сделать следующие неутешительные выводы, с которыми придется смириться:

1. Большая часть того, что мы делаем, не даст нам того, что мы планируем получить взамен.

2. Ожидания и действительность редко совпадают. Всегда стоит делать поправку на случайные факторы.

3. Высоких результатов удается добиться лишь за счет единичных действий.

Так что если вдруг что-то не получается, не стоит опускать руки. Противостоять универсальному закону невозможно. Стоит лишь на минуту приостановиться, сделать выводы, а затем продолжать действовать, пока не будет получен нужный результат.

В условиях естественной противоречивости критериев оптимальности, когда, в общем случае, невозможно обеспечить оптимальные значения по всем критериям одновременно, возникает желание найти такой план, для которого была бы в определенном смысле наилучшей совокупность этих значений по всем критериям вместе взятым. Такие планы называют оптимальными компромиссными.

Один из самых распространенных критериев оптимальности сформулирован итальянским экономистом В. Парето и предназначен для проверки эффективности предложенного изменения общего уровня благосостояния в экономике.

Критерий Парето сформулировал следующим образом: «Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит некоторым людям пользу (по их собственной оценке), является улучшением».

Этот критерий имеет весьма широкий смысл и применяется в тех случаях, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии неухудшения других показателей, а также при реализации композиционного подхода к развитию экономической системы, учитывающей интересы составляющих ее подсистем или групп экономических объектов.

Приведенное определение можно формализовать в виде следующего утверждения: состояние экономической системы 5 s считается лучшим по Парето, чем другое состояние S v если хотя бы один экономический субъект предпочитает S*, а все остальные, по меньшей мере, не делают различий между этими состояниями, но в то же время нет таких, кто предпочитает S { состоянию У. Это состояние S* безразлично по Парето относительно состояния S v если все экономические субъекты не делают между ними различий. Наконец, состояние S* оптимально по Парето, если не существует такого допустимого состояния экономической системы, которое было бы лучше этого.

Критерий Парето неприменим к весьма распространенным ситуациям, при которых экономические мероприятия приносят пользу одним, в то же время принося ущерб другим. На рис. 7.3.1 точкой Е 0 показано исходное состояние экономической системы, состоящей из двух групп (х и у).

Рис. 7.3.1.

Улучшают это состояние лишь те решения, которые переводят системы в любую точку, лежащую в заштрихованной области (точка С) и на ее границах (точки В, D). Решение, соответствующее точке Е, ухудшает состояние группы х, несмотря на улучшение состояния группы у, и поэтому не удовлетворяет требованию Парето.

Еслих, и у, на рис. 7.3.2 соответственно отображают максимальные значения целевых функций подсистем X и Упри их независимом друг от друга функционировании, то участок ЕЕ. множества Парето (недостижимый для каждой из них по отдельности) заинтересовывает их в совместной деятельности. Этот участок называется ядром экономической системы. Кривая PP ] определяет ресурсные ограничения или другие возможности экономической системы.

Рис. 7.3.2.

Чем теснее взаимозависимы подсистемы, тем меньше различия между множеством Парето («оптимумом по Парето») и ядром системы. Выбор при планировании единственного наилучшего плана (точка на кривой РР 1) - вопрос согласования. Например, такой точкой на кривой ?? ? может быть точка равновесия по Нэшу.

Принцип устойчивости Нэша заключается в утверждении, что выбор рациональной стратегии при взаимодействии многих субъектов должен производиться среди множества точек равновесия. Такой выбор будет устойчивым, однако не обязательно наилучшим, поскольку не все точки равновесия - эффективные. В теории игр доказывается, что если множество возможных выигрышей выпукло, замкнуто и ограничено сверху, то точка Нэша существует и она единственна.

Таким образом, оптимумов по Парето может быть много, но существенно меньше, чем возможных вариантов развития системы. Оптимумов по Парето, входящих в ядро системы, еще меньше. Это позволяет сузить выбор вариантов, подлежащих рассмотрению.

Понятие равновесия относится к различным ситуациям, которые характеризуются взаимодействием разнонаправленных сил. Воздействие этих сил взаимно погашается таким образом, что наблюдаемые свойства системы остаются неизменными. Понятию «равновесие» соответствует множество определений, среди которых наиболее распространены два: одно из них исходит из рассмотрения свойств системы, другое - из рассмотрения воздействующих на нее сил.

Первое определение. Равновесие - это такое состояние системы, которое характеризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов. В этом смысле синонимом термина «равновесие» является термин «сбалансированность».

Второе определение. Равновесие - это такое состояние системы, когда ни один из многих взаимосвязанных участников системы не заинтересован в изменении этого состояния, так как при этом он не может ничего выиграть, но может проиграть.

В экономической системе равновесие устанавливается (или не устанавливается) в результате действия определенного социально- экономического механизма, т.е. совокупности цен и других экономических нормативов, согласования интересов всех подсистем. Равновесие зависит от принятых экономических отношений, т.е. принципов распределения благ и доходов. Само по себе равновесие в системе не является доказательством ее оптимальности в социально- экономическом смысле.

В экономической системе равновесие рассматривается двояко:

• 1) как статическое состояние, при котором существует точка равновесия;
• 2) как динамическое состояние, которому соответствует уравновешенный или сбалансированный процесс развития.

Равновесный сбалансированный рост - это рост экономической системы, при котором темп прироста запасов всех продуктов на протяжении рассматриваемого промежутка времени постоянный. При этом разграничиваются понятия сбалансированного роста без равновесия, т.е. с избыточными запасами, и соответственно, равновесного роста. При этом предполагается, что важны не одинаковые темпы роста отдельных подсистем, а внутренняя согласованность этих темпов между собой. В этом представлении понятия сбалансированного и равновесного роста совпадают.

Понятие равновесия тесно связано с понятием устойчивости системы. Если при внешнем воздействии на систему неизменность ее свойств сохраняется, то равновесное состояние системы устойчиво, если не сохраняется - не устойчиво.

Изучение чувствительности равновесия к изменениям определенных параметров составляет предмет сравнительной статики. Равновесное состояние системы (рыночная сбалансированность) называется локально устойчивым, если оно достигается, начиная с некоторого набора цен, достаточно близкого к точке равновесия, и глобально устойчивым - если оно достигается независимо от начальной точки.

Под чувствительностью экономической системы понимается величина отклонения системы от эталона (заданной траектории движения), при которой блок управления начинает выдавать ответное регулирующее воздействие. При формальном описании экономического процесса целесообразно рассматривать чувствительность функции. Чувствительность функции - степень изменения значений функции при заданном абсолютном или относительном изменении аргументов. При проведении экономико-математического анализа возникает необходимость определения степени чувствительности показателя к изменению ведущих факторов. При этом применяются два подхода - приростный и темповый. В первом случае сопоставляются прирост фактора и прирост исследуемого показателя -

скорость изменения функции, средняя - или предельная

(или f"(x )). Во втором случае сравниваются темп прироста фактора и темп прироста исследуемого показателя (обычно имеют в виду процентные изменения). Это понятие тесно связано с понятием эластичности.

При оптимизации поведения экономических систем также используется понятие чувствительности. Чувствительность оптимального решения к изменениям ограничений задачи - это степень изменения значения целевой функции в результате небольших изменений параметров ограничений. В линейном программировании показателями чувствительности являются оптимальные оценки. В случае равенства оптимальной оценки нулю оптимальное решение не зависит от соответствующего параметра ограничений. Например, если существует избыток какого-то ресурса, то оптимальное решение не зависит от малых изменений общего объема предложения этого ресурса, так как он заведомо превышает потребность его использования в оптимальном плане. Поэтому оценка такого ресурса равна нулю.

В экономико-математическом моделировании равновесие часто отождествляют с понятием «оптимум». Однако равновесие является необходимым, но не достаточным условием оптимальности, так как равновесие экономической системы может устанавливаться на разных уровнях (в точках равновесия), в том числе и на оптимальном.

Редко кто из молодых людей не морщит лоб при слове «компромисс», нейтрально произносит словосочетание «меньшее зло», ведь компромисс - это сделка, соглашение на основе взаимных уступок. Между тем искусство разумного компромисса - это сама жизнь. Правда, «область применения» его небезгранична . Сфера его приложения - скорее «нормальное» состояние экономической системы, например общества в целом. Но если экономическая система требует радикальной трансформации, она не нуждается в услугах компромисса. Напротив, она ищет источник энергии в бескомпромиссности.

Идею поиска оптимального компромиссного плана рассмотрим на простейшем примере оптимизации двумерного критерия fx) = {//*),/ 2 (*)} ® шах, каждая составляющая которого представляет функцию от одной переменной X, определенной на некотором закрытом интервале [а, Ь. Графики изменения составляющих//*) и / 2 (х) представлены на рис. 7.3.3.

Рис. 7.3.3. Иллюстрация определения оптимального компромиссного плана: [с, d] - компромиссная область

Очевидно, что поиск оптимального компромиссного плана в данном конкретном примере целесообразен лишь на множестве точек интервала [с, d, так как вне этого интервала решение может быть улучшено сразу по обеим целевым функциям. План Х { будем считать лучше (предпочтительнее) плана Х 2 и обозначать Х 1 >- Х 2 , если хотя бы по одной компоненте целевой вектор-функции//^) >f s {X 1), а по остальным компонентам//^) > f s (Xf- Это так называемое улучшение по Парето , формулируемое очень просто: «Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит кому-то пользу (по их собственным оценкам), является улучшением».

Интервал [с, d носит название множества Парето, или множества эффективных планов, и характеризуется теми важными свойствами, что на нем ни одно решение не может быть улучшено ни по одному из критериев без ущерба для других критериев.

Таким образом, множество Парето - это множество допустимых планов, ни один из которых не может быть улучшен

Множественность эффективных планов является следствием «взаимозаменяемости» (взаимокомпенсации) скалярных критериев, позволяющей увеличивать одни компоненты за счет уменьшения других. В этих условиях каждый эффективный план по-своему исчерпывает возможность оптимизируемой экономической системы, реализуя определенный компромисс между частными целями. Таким образом, если принципы выделения множества эффективных планов строго научны, не требуют какого-либо постулирования и, следовательно, лишены элементов произвола и субъективизма, то определение на этом множестве оптимального компромиссного плана требует постулирования той или иной схемы компромисса.

Многие специалисты считают поэтому, что более эффективно было бы предоставить лицу, принимающему решение (ЛПР), полное множество эффективных планов, по которым ЛПР на основании имеющегося опыта, здравого смысла и других, не поддающихся формализации процедур, выберет единственное решение. Реализация такого подхода на практике сопряжена, однако, с серьезными методологическими трудностями, вызванными прежде всего отсутствием в настоящее время достаточно простых и ясных процедур построения эффективного множества (при количестве целевых функций S > 2), а также сложностью его представления лицу, принимающему решение. Рассмотрим теоретическое обоснование многокритериальной или векторной оптимизации.

• Абсолютный прирост - разность между текущим и предыдущим уровнямидинамического ряда (цепной). Базисный абсолютный прирост - разностьмежду текущим и базисным уровнями динамического ряда. Относительныйприрост (или коэффициент роста) - отношение текущего уровня к базисному (относительный базисный прирост) или к предыдущему (относительный цепной прирост). Если величины выражены в процентах, то ихназывают темпами роста. Темп прироста - это отношение абсолютногоприроста к базисному или предыдущему уровню динамического ряда.
• Именно это, видимо, имел в виду Омар Хайям: «Лучше впасть в нищету, голодать или красть, Чем в число блюдолизов презренных попасть. Лучше кости глодать, чем прельститься сластямиЗа столом у мерзавцев, имеющих власть».
• Вильфредо Парето (1848-1923) - ученик Леона Вальраса и его преемникна кафедре политической экономии Лозанского университета.

Выдающийся итальянский экономист Вильфредо Парето в начале XX века сформулировал один из самых распространенных критериев оптимальности, предназначенный для того, чтобы проверить, улучшает ли предложенное изменение в экономике общий уровень благосостояния.

Согласно его концепции, общество находится в состоянии общего экономического равновесия и социальной эффективности распределения ресурсов, которое предполагает оптимальное распределение в сфере производства при минимальном использовании ресурсов и эффективное распределение в сфере потребления, обеспечивающее максимум удовлетворения потребностей. Рыночная экономика в условиях совершенной конкуренции автоматически достигает оптимума по Парето.

Этот критерий имеет весьма широкий смысл. Он применяется при решении таких задач, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, чтобы другие не ухудшались, а также таких, когда реализуется композиционный подход к построению плана развития экономической системы, учитывающий интересы составляющих ее подсистем (групп экономических объектов).

Критерий Парето неприменим к весьма распространенным ситуациям, при которых экономическое мероприятие, приносящее пользу одним, в то же время наносит ущерб другим.

Имеется много различных оптимальных по Парето вариантов распределения ресурсов, при которых мера удовлетворения, достигаемая разными группами общества, может существенно отличаться. Экономическая теория не может определить, какое из оптимальных по Парето распределений ресурсов общества является наилучшим с социальной точки зрения. Выбор среди оптимальных вариантов применения ресурсов является проблемой социальной справедливости, требующей использования функции общественного благосостояния. Перемещение из одной точки эффективного по Парето распределения к другой такой же точке нередко предполагает государственное вмешательство в процесс перераспределения доходов или ресурсов общества.

Выделяют три условия обеспечения оптимальности по Парето.

Первое условие. Оптимальное распределение благ между потребителями исходит из соблюдения условия, согласно которому предельная норма замещения двух благ должна быть одинаковой для обоих потребителей.

Второе условие. Оптимальное распределение ресурсов в производстве. Для производства благ должно соблюдаться равенство, согласно которому соотношение предельных продуктов, используемых для производства блага, равно соотношению предельных продуктов в производстве блага.

Третье условие. Оптимальный объем производства. Граница производственных возможностей показывает количество благ, которые могут быть произведены в условиях полного использования ресурсов. Оптимальный объем производства для любых двух благ соблюдается при условии, что отношение предельных издержек к предельной полезности должно быть одинаковым для обоих благ.

оптимальность планирование хозяйственный качество

ОТВЕТ
Оптимальность по Парето гласит: «Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит людям пользу (по их собственной оценке), является улучшением».
Оптимальность по Парето является одним из самых распространенных критериев оптимальности. Он предназначен для того, чтобы определить, улучшает ли предложенное изменение в экономике общий уровень благосостояния.
В зарубежной экономической теории проблема достижения общественной эффективности распределения ресурсов разработана итальянским экономистом Вильфредо Парето. Согласно его концепции, общество находится в состоянии общего экономического равновесия и социальной эффективности распределения ресурсов, которое предполагает оптимальное распределение в сфере производства при минимальном использовании ресурсов и эффективное распределение в сфере потребления, которое обеспечивает максимум удовлетворения потребностей. Рыночная экономика в условиях совершенной конкуренции автоматически достигает оптимума по Парето.
Оптимальность по Парето неприменима к ситуации, когда предложенное изменение приносит пользу одним в то же время наносит потери другим.
Имеется много различных оптимальных по Парето вариантов распределения ресурсов, при которых мера удовлетворения, достигаемая разными группами общества, может существенно отличаться. Экономическая теория не может определить, какое из оптимальных по Парето распределений ресурсов общества является наилучшим с социальной точки зрения. Выбор среди оптимальных вариантов применения ресурсов является проблемой социальной справедливости, требующей использования функции общественного благосостояния. Перемещение из одной точки эффективного по Парето распределения к другой такой же точке нередко предполагает государственное вмешательство в процесс перераспределения доходов или ресурсов общества.
Выделяют три условия обеспечения оптимальности по Парето.
Первое условие. Оптимальное распределение благ между потребителями исходит из соблюдения условия, согласно которому предельная норма замещения двух благ должна быть одинаковой для обоих потребителей. Предположим, что в экономике производятся два блага X и Y и имеются два потребителя А и В, то

Второе условие. Оптимальное распределение ресурсов в производстве. Для производства благ X и Y имеются два ресурса – i и j. В этом варианте должно соблюдаться равенство, согласно которому соотношение предельных продуктов i и j, используемых для производства блага X, равно соотношению предельных продуктов i и j в производстве блага Y, а именно:

Третье условие. Оптимальный объем производства. Граница производственных возможностей показывает количество благ X и Y, которые могут быть произведены в условиях полного использования ресурсов. Оптимальным объем производства для любых двух благ будет при соблюдении следующих соотношений:

Это значит, что отношение предельных издержек к предельной полезности должно быть одинаковым для обоих благ.
ПАРЕТО Вильфредо (1848–1923), итальянский экономист, социолог, политический мыслитель и публицист, глава Лозаннской школы в буржуазной политической экономии. Экономическое и математическое образование получил в Туринском университете. Он сформулировал критерий наилучшего распределения ресурсов, вошедший в экономическую мысль как оптимум Парето.

Вы также можете найти интересующую информацию в электронной библиотеке Sci.House. Воспользуйтесь формой поиска:

Анализ решений при многих критериях в значительной степени сводится к организации в той или иной форме взаимодействия с ЛПР, которое только и может разрешить проблему соизмерения различных критериев. Тем не менее, существует довольно ограниченная область, в которой применение сугубо формального анализа без обращения к ЛПР оказывается весьма полезным. Речь идет о выделении так называемого множества эффективных, или оптимальных по Парето, альтернатив.

Альтернатива, не являющаяся эффективной, ни при каких условиях не может рассматриваться в качестве решения задачи, т.к. для неэффективной альтернативы существует другая, превосходящая ее по всем критериям. Отсюда вытекает важнейший критерий рациональности процесса разработки решения: выбираемый вариант должен быть эффективным.

Эффективная альтернатива – это альтернатива, для которой не существует другой допустимой, не уступающей ей по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходящей ее.

Главное в процессе нахождения эффективного решения состоит в том, что после того, как сформулированы критерии, задача отыскания множества эффективных решений на заданном множестве альтернатив является, хоть и сложной, но вполне формальной задачей, не требующей для своего решая обращения к ЛПР. Во многих случаях множество эффективных альтернатив можно отыскать, решая задачу с интегральным критерием оптимальности, представляющим собой сумму отдельных, частных критериев с переменными весами. При этом не имеет значения, какие веса брать для начала процесса. Все равно перебираются с каким-то заданным шагом все возможные комбинации на отрезке от 0 до 1. После того, как выделено множество эффективных альтернатив, ЛПР может выбрать одну из них, но строить из них комбинации, даже в тех случаях, когда такая комбинированная альтернатива имеет смысл, нельзя. Она может оказаться неэффективной и не может рассматриваться в качестве решения задачи.

Многокритериальные задачи фактически отличаются друг от друга формой вопросов, задаваемых ЛПР. Очень часто пытаются сформулировать эти вопросы таким образом, чтобы ЛПР указало относительные веса (коэффициенты важности или значимости) отдельных критериев, а затем строят так называемую свертку критериев, т.е. за интегральный показатель качества альтернативы принимают сумму отдельных критериев с коэффициентами важности.

Такая методика используется настолько часто, что иногда начинает восприниматься как единственно возможная. К ее достоинствам, помимо простоты, следует отнести то, что получаемая при таком подходе альтернатива заведомо будет эффективной. Однако применение этой схемы основано на дополнительных предположениях, которые не всегда оправданы. С математической точки зрения такая сумма частных критериев с коэффициентами важности есть аддитивная функция ценности. Для того, чтобы такая логическая конструкция правильно отражала систему предпочтений ЛПР, необходимо (на этот счет доказаны соответствующие теоремы), чтобы используемые для оценки альтернатив критерии обладали свойством взаимной независимости по предпочтению.

Пример 3.11. Рассматривается матрица платежеспособного спроса А и ее матрица рисков R .

, .

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности Р j того, что реальная ситуация развивается по варианту j. Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Тогда решение можно принимать, в частности, по правилу максимизации среднего ожидаемого дохода.

Прибыль, получаемая компанией при реализации i -го решения, является случайной величиной А i с рядом распределения:

А i	а i 1	а i 2	…	а i n
P i	P 1	P 2	…	P n

Математическое ожидание М (А i ) есть средняя ожидаемая прибыль, обозначаемая также . Правило рекомендует принять решение, приносящее максимальную среднюю ожидаемую прибыль.

Предположим, что в рассматриваемом примере вероятности равны: . Тогда

49300 ∙ + 197200 ∙ + 197200 ∙ + 197200 ∙ = 172550,

60 ∙ + 148900 ∙ + 297800 ∙ + 297800 ∙ = 210931,7,

1140 ∙ + 98400 ∙ + 196800 ∙ + 393600 ∙ = 204810.

Максимальная средняя ожидаемая прибыль равна = 210931,7 и соответствует второй стратегии компании.

R i	r i 1	r i 2	…	r i n
P i	P 1	P 2	…	P n

Математическое ожидание М (R i ) есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также . Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероятностях для матрицы рисков R . Получаем:

0 ∙ + 0 ∙ + 100600 ∙ + 196400 ∙ = 90616,7,

49360 ∙ + 48300 ∙ + 0 ∙ + 95800 ∙ = 52235,

50440 ∙ + 98800 ∙ + 101000 ∙ + 0 ∙ = 58356,7.

Минимальный средний ожидаемый риск равен = 52235 и соответствует второй стратегии компании.

Таким образом, в рассмотренном примере была получена оптимизационная двухкритериальная задача по выбору наилучшего решения, так как каждое решение имеет две характеристики - среднюю ожидаемую прибыль и средний ожидаемый риск.

Существует несколько способов постановки таких оптимизационных задач. Рассмотрим один из них в общем виде.

Пусть О - некоторое множество операций. Каждая операция «о » имеет две числовые характеристики А (о ) и R (о ) (например, эффективность и риск) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции, желательно, чтобы А было больше, a R меньше.

Будем говорить, что операция а доминирует операцию в , и обозначать а >в , если А (а ) ≥ А (в ) и R (a ) ≤ R (в ) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а называется доминирующей, а операция в - доминируемой. Ни при каком разумном выборе наилучшей операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето .

На множестве Парето каждая из характеристик А , R - однозначная функция другой, т.е. по характеристике А можно определить характеристику R и наоборот.

Применительно к матричным играм распределение называется Парето - оптимальным, если положение ни одного из игроков нельзя улучшить, не ухудшая при этом положение его партнера.

Каждое решение ( , ) рассматриваемого примера отметим как точку на плоскости (рисунок 3.10), в результате получили три точки.

Рисунок 3.10 - Множество операций

Чем выше точка ( , ) ,тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. В данном примере множество Парето состоит только из одной второй операции.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую функцию, которая для операции А с характеристиками ( , ) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Пусть взвешивающая функция имеет вид: f (А ) = 2 - . Тогда имеем:

f (А 1) = 2 ∙ 172550 - 90616,7 = 254483,3,

f (А 2) = 2 ∙ 210931,7 - 52235 = 369628,4,

f (А 3) = 2 ∙ 204810 - 58356,7 = 351263,3.

Отсюда видно, что стратегия А 2 - лучшая.

Взвешивающая формула выражает отношение лица, принимающего решение, к доходу и риску. Если ЛПР применяет только что рассмотренную формулу, то он согласен на увеличение риска операции на две единицы, если доход операции при этом увеличивается не менее чем на одну единицу. Следует отметить, что эта формула может передать отношение ЛПР к доходу и риску лишь приблизительно.

Приведем один из способов выделения множества Парето вариантов при решении многокритериальных задач.

Пусть проектируемая система зависит от r варьируемых параметров α 1 , ..., α r , для каждого из которых есть определенная область допустимых значений. Кроме этих ограничений обычно есть еще ограничения, возникающие из-за связей параметров между собой. В целом, есть некоторая область, в которой только и могут находиться допустимые значения параметров. В этой области выбирают N штук пробных точек:

которые, как правило, целесообразно располагать в ней равномерно. Оценивание каждого варианта производится по критериям Ф 1 , ..., Ф k , которые для простоты все надо минимизировать. Результаты, оценивая по каждому критерию, упорядочивают по возрастанию:

, (3.17)

где i 1 , i 2 , ..., i N - последовательность номеров точек (своя для каждого критерия), j = .

Пусть есть два критерия Ф 1 , Ф 2 и четыре точки α 1 , …, α 4 (каждая точка имеет r компонентов). Допустим

Ф 1 (α 1) ≤ Ф 1 (а 3) ≤ Ф 1 (а 2) ≤ Ф 1 (а 4),

Ф 2 (а 2) ≤ Ф 2 (а 1) ≤ Ф 2 (а 4) ≤ Ф 2 (а 3).

Результаты испытаний и упорядочивания представлены в таблице 3.8.

Таблица 3.8 - Значения критериев в пробных точках

Точки	Критерии
Значения Ф	Упорядочивание точек
Ф 1	Ф 2	Ф 1	Ф 2
	Ф 11	Ф 21
	Ф 12	Ф 22
	Ф 13	Ф 23
	Ф 14	Ф 24

Затем проектировщик или заказчик называет критериальные ограничения , ..., , то есть худшие значения по каждому из критериев, на которые еще можно согласиться . Критериальные ограничения не являются абсолютными, они зависят от физического или экономического смысла критериев, конъюнктурных соображений и т.д. Если эти ограничения слишком жесткие, то может оказаться, что вообще нет ни одного приемлемого варианта. В этом случае придется идти на какие-то уступки, компромиссы, брать менее обременительные критериальные ограничения.

Пусть в приведенном примере и таковы, что в выбранные ограничения укладываются: по первому критерию точки 1, 2, 3, по второму - 1, 2. В данном случае паретовское множество вариантов состоит из точек 1 и 2. Аналогично действуют и в общем случае, когда размерность задачи больше, чем в примере.

Анализ результатов, оценивание вариантов в пробных точках позволяют:

Обнаружить критерии, значения которых мало меняются;

Выявить зависимые или противоречивые критерии;

Определить взаимосвязь критериев друг с другом;

Установить влияние параметров на критерии и в ряде случаев попытаться улучшить значения тех или иных критериев за счет корректировки ограничений на параметры.